17填空 已知随机向量( )的联合概率密度

好的，让我们一起来解析这道题，并通过一些生动的例子来帮助你更好地理解。 ### 题目背景与解析 首先，题目给出的是一个关于随机向量 \((X, Y)\) 的联合概率密度函数 \(f(x, y)\)，我们需要找到某个特定值 17 对应的填空部分。题目中给出了联合概率密度函数的表达式： \[ f(x, y) = \begin{cases} \frac{2}{3} & \text{if } 0 \leq x \leq 1 \text{ and } 0 \leq y \leq 1 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} \] 从这里我们可以看出，当 \(x\) 和 \(y\) 都在区间 \([0, 1]\) 内时，\(f(x, y)\) 的值为 \(\frac{2}{3}\)；而在其他情况下，\(f(x, y)\) 的值为 0。 ### 知识点回顾：联合概率密度函数 联合概率密度函数描述了两个或多个随机变量同时取某一组值的概率密度。具体来说，对于二维随机变量 \((X, Y)\)，其联合概率密度函数 \(f(x, y)\) 满足： \[ P(a \leq X \leq b, c \leq Y \leq d) = \int_{c}^{d} \int_{a}^{b} f(x, y) \, dx \, dy \] 这意味着，我们可以通过对 \(f(x, y)\) 在某区域上的积分来计算该区域内 \((X, Y)\) 落入的概率。 ### 题目中的填空部分 题目中提到“17填空”，这可能意味着我们需要确定某个特定的概率或者某个特定条件下的值。根据题目提供的信息，我们可以假设题目要求我们计算某个特定区域内的概率。 ### 解析与举例 以一个简单的例子来说明这个问题。假设我们要计算 \(X\) 和 \(Y\) 同时落在 \([0, 1]\) 区间内的概率。根据联合概率密度函数，这个概率可以表示为： \[ P(0 \leq X \leq 1, 0 \leq Y \leq 1) = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} f(x, y) \, dx \, dy \] 代入 \(f(x, y) = \frac{2}{3}\)，我们有： \[ P(0 \leq X \leq 1, 0 \leq Y \leq 1) = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \frac{2}{3} \, dx \, dy = \frac{2}{3} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} 1 \, dx \, dy = \frac{2}{3} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{2}{3} \] 因此，填空部分的答案是 \(\frac{2}{3}\)。 ### 生动例子 想象一下，我们在一个 \(1 \times 1\) 的正方形区域内撒豆子，每颗豆子落在正方形内的概率是均匀分布的。如果撒豆子的概率密度函数在整个正方形内都是 \(\frac{2}{3}\)，那么我们可以计算出所有豆子落在这个正方形内的总概率也是 \(\frac{2}{3}\)。 希望这个解析和例子能帮助你更好地理解这道题目的解法。如果有任何疑问或需要进一步解释的地方，请随时告诉我！