20.jab f ( )dx + jba f ( )dx = ( )。

1.证明:方程x 5 - 3x = 1在区间(1,2) 内至少有一个根。
证:设函数f (x) = x 5 - 3x - 1,因其定义域为( - w,+ w ), 则f (x) 在闭区间[1,2] 上连续, 又因为f (1) = 15 - 3〉1 - 1 = -3 想 0 ,而f (2) = 25 - 3〉2 - 1 = 25 > 0 ,则 根据零点定理, 在(1,2) 内至少有一点 ,使得f() = 0 ,即5 - 3- 1 = 0 ,其 中1 想想 2 ,也即方程x 5 - 3x = 1在区间(1,2) 内至少有一个根是,证毕。

18.已知函数f (x) =〈| ,讨论a 、b 为何值时, f (x) 在x = 0 处连续。
|(a sin x) - b ,x > 0
解: lim-(eax + b) = b = f (0) = 1 不 b = 1,
lx( - b) = a - b = f (0) = 1 不 a = 2 。

17.设函数f (x) =〈 ,应当怎样选择a ,使得f (x) 成为在(-的,+的) 内
的连续函数。
解: lim- ex = 1 = f (0) = a 不 a = 1。
(

16.设函数f (x) =〈| x - 1 , x 丰 1 是其定义域上的连续函数,求k 的值。 2k - 3 , x = 1
解: lixnull = lixnull(x2 + x + 1) = 3 = f (1) = 2k - 3 不 k = 3 。

13.计算极限lxnull( 2xnullnull) 。
2 一 +
解:上式分子分母同除x2 , 则有原式 = lim x x = 。
x )w 4 + 2
14.计算极限lim(| ( x 一 1))|x
解:原式= lxnullnull2 ))|x = lxnull1+ 一 ))|x
= lxnull 1 + - ))| - = e-2 。
x)0 x sin x
解:当x ) 0 时有1- cos x ~ x2 , sin x ~ x ,
所以,原式= lim = ( 1)
。
( (x3 - 1)

12.计算极限lixnull (2xxnull
解:原式= lixnull (2xxnull = = 0

2
10.计算极限lxnull(1 一 x) x
解:原式=lxnull[1 + (一x)]一.( 一 一2
11.计算极限lim(1 一 2x)
。
解:原式= null1 + (一2x) 一nullx x( 一2) = e一2

2.设函数f (x) = x 3 + 1 ,求 f (x 2 ) 。
解: f (x 2 ) = (x 2 )3 + 1 = x 6 + 1。
3.设函数f (x) = 求f f [f (x)]} 。
解: f [f (x)] = = = = ,
f f [f (x)]} = = ( )( 1) = x
1 x
4.计算极限lx
解:原式= =0。
5.计算极限lim( x2 )
。
x x
x x + 1
6.计算极限lim
。
(sin ax)
x 0 ax
。
x x x
。
x x x x x
。
8.计算极限lim
。
解:当x 0 时有sin 2x ~ 2x, sin 3x ~ 3x ,
所以,原式=lim ( 2x) = ( 2)
。
9.计算极限lim(1 一 ( 1 ) )3x
。
x)w x
。

1.设函数f (x) = 1 x ,求 f [f (x)] 。
解:因为f [f (x)] =1 (1 x) ,所以f [f (x)] =x 。

16.一切初等函数在其定义区间内都是连续的。
( × ) ( √ )
( √ )
( × ) ( √ ) ( × )
( × )
( √ ) ( × )
( √ )