15.求定积分j nullx ln(1 + x)dx
解:
=
x2 [ln(x + 1)]null 一 j01
x2 .
dx
令t = 1+ x ,t = (1,2),dx = d (t 一 1) = dt
=
ln 2 一
j12 (t null1)2 dt 1
= 4
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9.cos x的不定积分是sinx。( )
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12.设f( ) ,g( )在I上的原函数分别是F( )和G( ),则在I上有( )。
A. ∫ f(x)g(x)dx = F(x)G(x)
B. ∫ f(x)g(x)dx = F(x)G(x) + C
D. ∫ [f(x)F(x) + g(x)G(x)]dx = F(x)G(x) + C
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1.证明:方程x 5 - 3x = 1在区间(1,2) 内至少有一个根。
证:设函数f (x) = x 5 - 3x - 1,因其定义域为( - w,+ w ), 则f (x) 在闭区间[1,2] 上连续, 又因为f (1) = 15 - 3〉1 - 1 = -3 想 0 ,而f (2) = 25 - 3〉2 - 1 = 25 > 0 ,则 根据零点定理, 在(1,2) 内至少有一点
,使得f(
) = 0 ,即
5 - 3
- 1 = 0 ,其 中1 想
想 2 ,也即方程x 5 - 3x = 1在区间(1,2) 内至少有一个根是
,证毕。
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1.设函数f (x) = 1
x ,求 f [f (x)] 。
解:因为f [f (x)] =1
(1
x) ,所以f [f (x)] =x 。
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10.求j-01
dx
解: j-01
dx = j-01
3x2 +
))|dx
= [x3 ]0-1 + [arctan x]0-1
=1+
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8.若函数f( ) 在x0 点连续,则函数f( ) 在x0 点一定有极限。
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8.若∫ f( )dx = e −x + C ,则f′ ( ) = ( )。
A. −xe−x
B. x2 e −x
C. ex
D. e −x
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19.j( )
( )
1 d一null 一 1
解:
令
1
x = t ,x = 1
t2,dx =
2tdt
= (j)
dt = 2j0
(1 +
)dt
= 1
2 ln 2
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13.若函数f( ) 在( ) 内连续,则f( ) 在该区间内必取到最值。 14.方程x5 + x
1 = 0 在(0,1) 内至少有一个实根。 15.闭区间上的连续函数一定有零点。
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sin x 
在x = 0 处的导数是( )。
