近几年居民收人的差距越来越大,为了解某市居民收人状况,随机抽取
1.2万户居民,记录他们的年收人。下列统计量用于描述该地区居民收人的差距
状况,且受异常值影响最小的是____。

这是一道关于统计学中**离散程度（变异程度）度量指标**及其**稳健性（对异常值的敏感度）**的题目。 ### 1. 题目分析 * **核心目标**：寻找一个统计量，既能描述“收入差距”（即数据的离散程度或波动大小），又具有“受异常值影响最小”的特性。 * **背景知识**居民收入分布通常呈现右偏分布（少数人收入极高，大多数人收入中等或偏低），因此数据中往往存在极高的“异常值”。我们需要选择对极端值不敏感的离散程度指标。 ### 2. 选项逐一解析 * **A. 样本中位数 (Sample Median)** * **性质**：中位数是位置平均数，用于描述数据的**集中趋势中心位置**。 * **缺陷**虽然中位数本身受异常值影响很小，但它反映的是“中间水平”，而不是“差距”或“离散程度”。题目要求描述“收入差距状况”，因此中位数不符合题意。 * **B. 样本极差 (Sample Range)** * **性质**：极差 = 最大值 - 最小值。它是描述离散程度的最简单指标。 * **缺陷**：极差直接取决于数据中的最大值和最小值。如果存在极高的收入异常值，极差会剧烈增大。因此，极差**受异常值影响极大**，不符合“受异常值影响最小”的要求。 * **C. 样本四分位间距 (Sample Interquartile Range, IQR)** * **性质**：$IQR = Q_3 - Q_1$（第三四分位数减去第一四分位数它反映了中间50%数据的离散程度。 * **优势**： 1. **描述差距**：它是一个衡量数据离散程度（差距）的指标。 2. **抗干扰性强**：由于它只关注中间50%的数据，剔除了最低25%和最高25%的数据（包括潜在的极端异常值），因此它对异常值非常不敏感，具有很高的**稳健性**。 * **结论**：符合题目所有要求。 * **D. 样本标准差 (Sample Standard Deviation)** * **性质**：标准差基于所有数据与均值的偏差平方和计算，是衡量离散程度最常用的指标。 * **缺陷**：由于计算过程中涉及平方运算，极端值（异常值）会对标准差产生巨大的放大效应。例如，一个极大的收入值会使均值偏移，并显著增加平方和，从而导致标准差大幅变大。因此，标准差**受异常值影响较大**。 ### 3. 总结 * 要描述“差距”（离散程度），排除 A（集中趋势）。 * 在 B、C、D 三个离散程度指标中，比较对异常值的敏感度： * 极差 (B)：最敏感。 * 标准差 (D)：较敏感。 * 四分位间距 (C)：最不敏感（稳健性最好）。 因此，用于描述收入差距且受异常值影响最小的是**样本四分位间距**。 **正确答案：C**