当二极管外加的正向电压超过死区电压时，电流随电压增加而迅速( )。

本题主要考察二极管的正向导电特性。

选项A：当二极管外加的正向电压超过其死区电压时，二极管开始导通。此时，随着正向电压的增加，通过二极管的电流会迅速增加，呈现出正向导电特性。因此，选项A“增加”是正确的。

选项B：在二极管正向导通的情况下，电流是随着电压的增加而增加的，而不是减小。所以，选项B“减小”是错误的。

选项C：截止状态是指二极管在反向电压或正向电压低于死区电压时的情况，此时二极管几乎不导电。但题目中明确提到外加的正向电压已超过死区电压，因此二极管处于导通状态，而非截止状态。所以，选项C“截止”是错误的。

选项D：虽然二极管在正向电压足够大时可能会进入饱和状态（即电流增加的速度放缓），但题目中并未提及饱和状态，且“饱和”一词在二极管的正向导通特性中通常不是用来描述这种电流随电压迅速增加的现象的。更重要的是，在二极管正向导通的初期，电流确实是随着电压的增加而迅速增加的，这与“饱和”状态不符。因此，选项D“饱和”也是错误的。

综上所述，正确答案是A。