97.y倚x的回归方程与x倚y的回归方程,两者的相关系数总是相等的。()

**解析：** 该命题是**正确**的。 **详细推导与解释：** 1. **相关系数的定义与对称性** 皮尔逊相关系数（Pearson correlation coefficient），通常记为 $r$，用于衡量两个变量 $x$ 和 $y$ 之间线性相关的强度和方向。其计算公式为： $$ r = \frac{\sum(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum(x_i - \bar{x})^2 \sum(y_i - \bar{y})^2}} $$ 从公式中可以明显看出，$x$ 和 $y$ 的地位是完全对称的。也就是说，计算 $x$ 与 $y$ 的相关系数，和计算 $y$ 与 $x$ 的相关系数，结果是完全一样的。即 $r_{xy} = r_{yx}$。 2. **回归方程与相关系数的关系** * **$y$ 倚 $x$ 的回归方程**（$y$ 对 $x$ 回归）：斜率记为 $b_{yx}$。 $$ b_{yx} = r \cdot \frac{S_y}{S_x} $$ * **$x$ 倚 $y$ 的回归方程**（$x$ 对 $y$ 回归）：斜率记为 $b_{xy}$。 $$ b_{xy} = r \cdot \frac{S_x}{S_y} $$ 其中，$S_x$ 和 $S_y$ 分别是 $x$ 和 $y$ 的标准差。 3. **结论分析** 虽然两条回归直线的斜率不同（除非 $S_x = S_y$），且回归直线本身不重合（一条最小化垂直距离，一条最小化水平距离），但它们所基于的**相关系数 $r$ 是同一个值**。 事实上，相关系数 $r$ 也可以表示为两个回归系数的几何平均数（符号相同）： $$ r = \text{sign}(b) \cdot \sqrt{b_{yx} \cdot b_{xy}} $$ 因此，无论我们是建立 $y$ 关于 $x$ 的回归模型，还是 $x$ 关于 $y$ 的回归模型，用来描述这两个变量间线性相关程度的指标——相关系数 $r$，始终是不变的。 **总结：** 相关系数反映的是变量间线性相关的紧密程度，它不依赖于哪个变量作为自变量或因变量，具有对称性。因此，$y$ 倚 $x$ 的回归分析与 $x$ 倚 $y$ 的回归分析中，两者的相关系数总是相等的。