7.已知f ( ) 为偶函数,且j02 f ( )dx = ,则定积分 j-22 f ( )dx = ( )

好的，让我们一起来解析这道题目。 题目给出的信息是：\( f(x) \) 是一个偶函数，并且 \( \int_0^2 f(x) \, dx = 1 \)。我们需要求 \( \int_{-2}^2 f(x) \, dx \) 的值。 ### 偶函数的性质 首先，我们需要理解偶函数的定义：如果一个函数满足 \( f(-x) = f(x) \)，那么这个函数就是偶函数。例如，\( f(x) = x^2 \) 就是一个偶函数。 ### 定积分的几何意义 对于偶函数 \( f(x) \)，在对称区间 \([-a, a]\) 上的定积分可以分成两部分： \[ \int_{-a}^a f(x) \, dx = \int_{-a}^0 f(x) \, dx + \int_0^a f(x) \, dx \] 由于 \( f(x) \) 是偶函数，所以 \( f(-x) = f(x) \)，因此： \[ \int_{-a}^0 f(x) \, dx = \int_0^a f(-x) \, dx = \int_0^a f(x) \, dx \] 也就是说，在对称区间 \([-a, a]\) 上，定积分可以简化为： \[ \int_{-a}^a f(x) \, dx = 2 \int_0^a f(x) \, dx \] ### 应用到本题 题目中给出的是 \( \int_0^2 f(x) \, dx = 1 \)，根据上述性质，我们可以计算 \( \int_{-2}^2 f(x) \, dx \)： \[ \int_{-2}^2 f(x) \, dx = 2 \int_0^2 f(x) \, dx = 2 \cdot 1 = 2 \] 因此，正确答案是 D: 2。 希望这个解释对你有所帮助！