经过调查，发现行政案件有下列哪些情形的，经公安派出所或者县级公安机关办案部门以上负责人批准，终止调查？（）
答案解析
解析：
A. 甲被人举报有嫖娼行为，但调查后发现甲与所谓的“卖淫女”乙系恋人关系，这意味着举报的内容不成立，嫖娼行为不存在，因此应当终止调查。
B. 甲被人举报有赌博行为，尽管打麻将的人都是甲的亲属且输赢仅为1000元，看似是家庭娱乐，但根据中国法律，即使是亲属之间，只要涉及到财物输赢，也可能构成赌博。因此，这种情况不一定能终止调查，需要根据具体法律规定来判断。
C. 甲故意伤害案件转为刑事案件，这是因为伤害程度达到了轻伤，需要按照刑事案件程序处理，所以不能终止调查。
D. 甲故意损毁财物案件，虽然经过调解达成协议并且履行，但这是否构成终止调查的条件需要依据具体法律规定和案件性质来判断。一般情况下，调解成功并不自动意味着调查终止。
为什么选这个答案：
选择A，因为根据《公安机关办理行政案件程序规定》，如果经过调查，发现行政案件不存在或者违法行为情节显著轻微，可以经公安派出所或者县级公安机关办案部门以上负责人批准终止调查。选项A中，甲的行为并不构成嫖娼，属于举报内容不实，所以调查应当终止。而其他选项中，B可能涉及赌博，C已经转为刑事案件，D虽达成调解但未明确说明可以终止调查，因此A是最符合终止调查条件的选项。
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