水利工程质量监督机构的职能包括（）。

解析这道题的各个选项以及选择答案的原因如下：

A. 负责监督设计、监理、施工单位在其资质等级允许范围内从事水利工程建设的质量工作：

这是质量监督机构的基本职能之一，确保各参与单位在其合法资质范围内进行工作，以保证工程质量和安全。因此，A选项是正确的。

B. 负责检查、督促建设、监理、设计、施工单位建立健全质量体系：

质量体系是保障工程质量的重要基础，质量监督机构有责任检查并督促各相关单位建立和完善其质量体系，以确保工程建设的每一个环节都能达到既定的质量标准。因此，B选项也是正确的。

C. 以抽查为主的监督方式，按照国家和水利行业有关工程建设法规、技术标准和设计文件实施工程质量监督，对施工现场影响工程质量的行为进行监督检查：

这是质量监督机构进行日常监督的主要方式，通过抽查和检查，确保施工活动符合相关法规、标准和设计文件要求，及时纠正影响工程质量的行为。因此，C选项描述准确，是正确的。

D. 对关键分部工程的施工质量进行复查：

水利工程质量监督机构通常不会直接进行“复查”，而是通过对施工过程的监督、检查以及对隐蔽工程、关键部位的验收等方式来确保工程质量。复查通常是由建设单位或监理单位在施工单位自检合格后进行，而不是质量监督机构的直接职责。因此，D选项描述不准确，是错误的。

E. 工程竣工验收时，对工程质量等级进行核定：

在工程竣工验收阶段，质量监督机构会根据相关法规和标准对工程质量进行综合评价，并核定工程质量等级。这是质量监督机构的重要职责之一，因此E选项是正确的。

综上所述，正确答案是A、B、C、E。这些选项准确地描述了水利工程质量监督机构的职能。