165、正交变换矩阵R为正交矩阵。( )

正交变换是指在一个向量空间中，通过正交矩阵进行的变换，这种变换保持了向量的长度和角度。正交矩阵 \( R \) 的定义是一个方阵，其行向量和列向量都是正交的，并且它的转置矩阵 \( R^T \) 等于其逆矩阵 \( R^{-1} \)。也就是说，正交矩阵满足 \( R^T R = R R^T = I \)，其中 \( I \) 是单位矩阵。
然而，正交变换矩阵不仅限于正交矩阵，它们也可以是包含旋转和反射的变换矩阵。正交矩阵是正交变换矩阵的一种特殊情况，但并非所有正交变换矩阵都是标准正交矩阵。例如，考虑一个二维平面上的反射矩阵，它也是一个正交矩阵，但它不一定是标准正交矩阵。因此，正交变换矩阵的定义要比正交矩阵更广泛。
**生动例子**：
- **旋转矩阵**：在二维平面中，旋转一个角度 \( \theta \) 的矩阵 \( R(\theta) \) 是一个正交矩阵，因为它保持了角度和长度，但它不涉及反射。
- **反射矩阵**：在二维平面上，关于x轴的反射矩阵 \( R_x = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \) 也是一个正交矩阵，但它不同于旋转矩阵。