某液体在内径为d1的管路中稳定流动，其平均流速为u1，当它以相同体积流量通过内径为 d2(d2＝d1/2)的管子时，流速将变为原来的（）倍；流动为层流时，管子两端压降为原来的（）倍，完全湍流时压降为

这是一道关于流体力学中管道流动的经典题目，主要考察连续性方程以及不同流动状态下（层流和完全湍流）压降与管径、流速的关系。 以下是详细的推导解析： ### 1. 流速的变化倍数 根据**连续性方程**，对于不可压缩流体，体积流量 $Q$ 保持不变： $$ Q = A_1 u_1 = A_2 u_2 $$ 其中截面积 $A = \frac{\pi d^2}{4}$。因此： $$ \frac{\pi d_1^2}{4} u_1 = \frac{\pi d_2^2}{4} u_2 $$ 化简得流速与管径平方成反比： $$ \frac{u_2}{u_1} = \left( \frac{d_1}{d_2} \right)^2 $$ 已知 $d_2 = \frac{d_1}{2}$，即 $\frac{d_1}{d_2} = 2$，代入上式： $$ \frac{u_2}{u_1} = 2^2 = 4 $$ 所以，流速变为原来的 **4** 倍。 --- ### 2. 层流时压降的变化倍数 在层流状态下，压降 $\Delta P$ 遵循**哈根-泊肃叶定律 (Hagen-Poiseuille Law)**： $$ \Delta P = \frac{32 \mu L u}{d^2} $$ 或者使用流量表示（因为流量恒定，用流量表示更直观，但这里我们用速度和管径的关系推导）： $$ \Delta P \propto \frac{u}{d^2} $$ 我们要比较 $\Delta P_2$ 和 $\Delta P_1$： $$ \frac{\Delta P_2}{\Delta P_1} = \frac{\frac{u_2}{d_2^2}}{\frac{u_1}{d_1^2}} = \left( \frac{u_2}{u_1} \right) \cdot \left( \frac{d_1}{d_2} \right)^2 $$ 将之前求得的结果代入： * $\frac{u_2}{u_1} = 4$ * $\frac{d_1}{d_2} = 2 \Rightarrow \left( \frac{d_1}{d_2} \right)^2 = 4$ $$ \frac{\Delta P_2}{\Delta P_1} = 4 \times 4 = 16 $$ 所以，层流时压降变为原来的 **16** 倍。 *(注：也可以直接用 $\Delta P \propto \frac{Q}{d^4}$ 推导，$\frac{\Delta P_2}{\Delta P_1} = (\frac{d_1}{d_2})^4 = 2^4 = 16$，结果一致)* --- ### 3. 完全湍流时压降的变化倍数 在**完全湍流区**（阻力平方区），摩擦系数 $\lambda$ 仅与相对粗糙度有关，视为常数。此时压降遵循范宁公式或达西公式： $$ \Delta P = \lambda \frac{L}{d} \frac{\rho u^2}{2} $$ 即： $$ \Delta P \propto \frac{u^2}{d} $$ 比较 $\Delta P_2$ 和 $\Delta P_1$： $$ \frac{\Delta P_2}{\Delta P_1} = \left( \frac{u_2}{u_1} \right)^2 \cdot \left( \frac{d_1}{d_2} \right) $$ 代入已知数据： * $\frac{u_2}{u_1} = 4 \Rightarrow \left( \frac{u_2}{u_1} \right)^2 = 16$ * $\frac{d_1}{d_2} = 2$ $$ \frac{\Delta P_2}{\Delta P_1} = 16 \times 2 = 32 $$ 所以，完全湍流时压降变为原来的 **32** 倍。 --- ### 结论 综上所述： 1. 流速变为原来的 **4** 倍； 2. 层流压降变为原来的 **16** 倍； 3. 完全湍流压降变为原来的 **32** 倍。 对应选项 **C. 4，16, 32**。 **正确答案：C**