34.一块直角三角形绿地的三边均铺有长度为整数米的水管，其中一条直角边外的水管长 7 米。现在三边的水管上随机任选 1 处做标记，则该标记在斜边上的概率在以下哪个范 围内( )

这是一道结合了几何性质（勾股数）与几何概型的数学题。以下是详细的解析过程： ### 1. 确定直角三角形的三边长度 设直角三角形的两条直角边分别为 $a$、$b$，斜边为 $c$。 根据题意： 1. 三边长度均为整数。 2. 其中一条直角边长为 7 米。不妨设 $a = 7$。 3. 根据勾股定理：$a^2 + b^2 = c^2$，即 $7^2 + b^2 = c^2$。 整理方程得： $$c^2 - b^2 = 49$$ $$(c - b)(c + b) = 49$$ 因为 $b$ 和 $c$ 都是正整数，且 $c > b$（斜边大于直角边），所以 $(c - b)$ 和 $(c + b)$ 也是正整数，且 $(c + b) > (c - b)$。 49 的正整数因子对有：$1 \times 49$ 和 $7 \times 7$。 * **情况 1**： $$\begin{cases} c - b = 7 \\ c + b = 7 \end{cases}$$ 解得 $c = 7, b = 0$。边长不能为 0，舍去。 * **情况 2**： $$\begin{cases} c - b = 1 \\ c + b = 49 \end{cases}$$ 两式相加得 $2c = 50 \Rightarrow c = 25$。 两式相减得 $2b = 48 \Rightarrow b = 24$。 因此，该直角三角形的三边长度分别为：**7, 24, 25**。 验证：$7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2$，符合勾股定理，且均为整数。 ### 2. 计算总周长与斜边长度 * **斜边长度** ($L_{斜}$)：$25$ 米 * **三角形周长** ($L_{总}$)：$7 + 24 + 25 = 56$ 米 ### 3. 计算概率 题目指出“在三边的水管上随机任选 1 处做标记”，这属于**几何概型**。标记落在某一段上的概率等于该段长度占总长度的比例。 标记在斜边上的概率 $P$ 为： $$P = \frac{\text{斜边长度}}{\text{总周长}} = \frac{25}{56}$$ ### 4. 估算数值范围 我们需要计算 $\frac{25}{56}$ 的近似值，或者将其与选项中的边界值进行比较。 **方法一：直接除法** $$25 \div 56 \approx 0.4464$$ **方法二：与选项边界比较** * 选项 B 的上限是 0.42，选项 C 的下限是 0.42。 $$0.42 = \frac{42}{100} = \frac{21}{50}$$ 比较 $\frac{25}{56}$ 与 $\frac{21}{50}$： $$25 \times 50 = 1250$$ $$21 \times 56 = 1176$$ 因为 $1250 > 1176$，所以 $\frac{25}{56} > 0.42$。 * 选项 C 的上限是 0.50。 $$\frac{25}{56} < \frac{28}{56} = 0.5$$ 显然成立。 综上所述，概率值 $0.4464...$ 位于 $0.42$ 到 $0.50$ 之间。 ### 5. 结论 该标记在斜边上的概率约为 0.446，落在区间 **0.42~0.50** 内。 故正确答案为 **C**。