某商店销售某种商品,每件进价40元,规定每件商品的利润率不低于25%,最高不超过100%.如果以25%的利润定价,每个月可卖出210件;如果每件利润高于25%,则每件商品的售价每上涨1元,每个月少卖1件.问该商店一个月能获得的最大利润为多少元?

好的，让我们一起来解答这道有趣的单选题。为了更好地理解和解决问题，我们可以把这个问题想象成一个游戏，游戏的目标是找到最优的定价策略来最大化商店一个月内的利润。 首先，我们需要明确几个关键信息： 1. 商品的进价为40元。 2. 利润率至少为25%，最多不超过100%。 3. 以25%的利润率定价时，每个月可以卖出210件商品。 4. 每增加1元售价，每月销量减少1件。 接下来，我们一步一步地分析： ### 第一步：计算25%利润率时的售价 - 进价为40元，利润率为25%，那么售价应该是： \[ \text{售价} = 40 \times (1 + 25\%) = 40 \times 1.25 = 50 \text{元} \] 此时，每个月可以卖出210件商品，因此月利润为： \[ \text{月利润} = (50 - 40) \times 210 = 10 \times 210 = 2100 \text{元} \] ### 第二步：探索更高利润率的情况 假设我们增加售价，比如售价提高到 \( x \) 元，那么： - 每件商品的利润为 \( x - 40 \) - 每件商品的售价每增加1元，每月销量减少1件。因此，如果售价从50元增加到 \( x \) 元，则每月销量减少了 \( x - 50 \) 件。 - 新的每月销量为 \( 210 - (x - 50) = 260 - x \) 此时，月利润为： \[ \text{月利润} = (x - 40) \times (260 - x) \] ### 第三步：求最大利润 为了求出最大利润，我们需要找到函数 \( P(x) = (x - 40)(260 - x) \) 的最大值。 \[ P(x) = (x - 40)(260 - x) = 260x - x^2 - 10400 \] \[ P(x) = -x^2 + 260x - 10400 \] 这是一个开口向下的抛物线，其顶点公式为 \( x = -\frac{b}{2a} \)，其中 \( a = -1 \)，\( b = 260 \)。 \[ x = -\frac{260}{2(-1)} = 130 \] 因此，当售价为130元时，月利润达到最大。将 \( x = 130 \) 代入利润公式中： \[ P(130) = (130 - 40)(260 - 130) = 90 \times 130 = 11700 \] 但是，根据题目条件，利润率最高不能超过100%，即售价不能超过80元（进价40元，利润率100%）。因此，我们需要重新计算： ### 第四步：验证80元的利润情况 当售价为80元时： - 每件商品利润为 \( 80 - 40 = 40 \) 元 - 销量为 \( 260 - 80 = 180 \) 件 此时月利润为： \[ \text{月利润} = 40 \times 180 = 7200 \text{元} \] 因此，该商店一个月能获得的最大利润为7200元。 最终答案是：C选项7200元。