当流量、管长和管子的摩擦系数等不变时，管路阻力近似地与管径的 次方成反比

这是一道关于流体力学中管路阻力计算的题目。我们需要推导在流量、管长和摩擦系数不变的情况下，管路阻力（通常指压降或扬程损失）与管径的关系。 ### 1. 核心公式回顾 管路阻力损失（压降 $\Delta P$ 或水头损失 $h_f$）通常使用 **达西-魏斯巴赫公式 (Darcy-Weisbach Equation)** 来计算： $$ h_f = \lambda \frac{L}{d} \frac{v^2}{2g} $$ 或者以压强降表示： $$ \Delta P = \lambda \frac{L}{d} \frac{\rho v^2}{2} $$ 其中： * $h_f$ ：沿程水头损失 * $\Delta P$ ：沿程压力损失 * $\lambda$ ：摩擦系数（题目已知不变） * $L$ ：管长（题目已知不变） * $d$ ：管径 * $v$ ：流体流速 * $\rho$ ：流体密度 * $g$ ：重力加速度 ### 2. 引入流量约束 题目中指出**流量 ($Q$) 不变**。流速 $v$ 与流量 $Q$ 和管径 $d$ 的关系由连续性方程给出： $$ Q = A \cdot v = \frac{\pi d^2}{4} \cdot v $$ 由此可得流速 $v$ 的表达式： $$ v = \frac{4Q}{\pi d^2} $$ 这意味着流速 $v$ 与管径的平方成反比，即 $v \propto \frac{1}{d^2}$。 ### 3. 推导阻力与管径的关系 将流速 $v$ 的表达式代入达西-魏斯巴赫公式中，消去变量 $v$，只保留 $d$ 和其他常数。 以压降 $\Delta P$ 为例： $$ \Delta P = \lambda \frac{L}{d} \frac{\rho}{2} \left( \frac{4Q}{\pi d^2} \right)^2 $$ 展开平方项： $$ \Delta P = \lambda \frac{L}{d} \frac{\rho}{2} \cdot \frac{16 Q^2}{\pi^2 d^4} $$ 整理常数项和变量项： $$ \Delta P = \left( \frac{8 \lambda L \rho Q^2}{\pi^2} \right) \cdot \frac{1}{d \cdot d^4} $$ $$ \Delta P = \left( \frac{8 \lambda L \rho Q^2}{\pi^2} \right) \cdot \frac{1}{d^5} $$ ### 4. 结论分析 根据上述推导，当 $\lambda$（摩擦系数）、$L$（管长）、$Q$（流量）以及流体性质（$\rho$）均保持不变时： $$ \Delta P \propto \frac{1}{d^5} $$ 即：**管路阻力近似地与管径的 5 次方成反比。** ### 5. 选项对比 * A. 2 * B. 3 * C. 4 * D. 5 推导结果与选项 D 相符。 ### 最终答案 **D**