流体在圆形直管中作层流流 动，如果只将流速增加一倍，管径不变，则阻力损失为原来的（ ）倍；如果只将管径增加一倍，流速不变，则阻力损失为原来的 倍

这是一道关于流体力学中圆形直管层流流动阻力损失计算的题目。我们需要利用哈根-泊肃叶定律（Hagen-Poiseuille law）或达西-魏斯巴赫公式（Darcy-Weisbach equation）结合层流摩擦系数来进行推导。 ### 1. 理论基础 在圆形直管中，流体作**层流**流动时，阻力损失（压头损失 $h_f$ 或压强降 $\Delta p$）与流速和管径的关系可以通过以下公式描述： **方法一：使用哈根-泊肃叶定律（直接针对层流）** 对于不可压缩流体在水平圆管中的层流流动，压强降 $\Delta p$ 为： $$ \Delta p = \frac{32 \mu L u}{d^2} $$ 其中： * $\mu$ 为流体粘度 * $L$ 为管长 * $u$ 为平均流速 * $d$ 为管径 若用阻力损失（压头损失）$h_f$ 表示，则 $h_f = \frac{\Delta p}{\rho g}$，即： $$ h_f = \frac{32 \mu L u}{\rho g d^2} $$ 由此可见，在层流状态下，阻力损失 $h_f$ 与流速 $u$ 成正比，与管径 $d$ 的平方成反比。 $$ h_f \propto \frac{u}{d^2} $$ **方法二：使用达西-魏斯巴赫公式** $$ h_f = \lambda \frac{L}{d} \frac{u^2}{2g} $$ 对于层流，摩擦系数 $\lambda$ 与雷诺数 $Re$ 的关系为： $$ \lambda = \frac{64}{Re} = \frac{64 \mu}{\rho u d} $$ 将 $\lambda$ 代入达西公式： $$ h_f = \left( \frac{64 \mu}{\rho u d} \right) \frac{L}{d} \frac{u^2}{2g} = \frac{32 \mu L u}{\rho g d^2} $$ 结论相同：**$h_f \propto \frac{u}{d^2}$** --- ### 2. 逐步推导 #### 第一种情况：只将流速增加一倍，管径不变 * **初始状态**：$h_{f1} \propto \frac{u_1}{d_1^2}$ * **变化后**：$u_2 = 2u_1$，$d_2 = d_1$ * **新阻力损失**： $$ h_{f2} \propto \frac{u_2}{d_2^2} = \frac{2u_1}{d_1^2} = 2 \left( \frac{u_1}{d_1^2} \right) = 2 h_{f1} $$ * **结论**：阻力损失变为原来的 **2** 倍。 #### 第二种情况：只将管径增加一倍，流速不变 * **初始状态**：$h_{f1} \propto \frac{u_1}{d_1^2}$ * **变化后**：$u_3 = u_1$，$d_3 = 2d_1$ * **新阻力损失**： $$ h_{f3} \propto \frac{u_3}{d_3^2} = \frac{u_1}{(2d_1)^2} = \frac{u_1}{4d_1^2} = \frac{1}{4} \left( \frac{u_1}{d_1^2} \right) = \frac{1}{4} h_{f1} $$ * **结论**：阻力损失变为原来的 **1/4** 倍。 --- ### 3. 最终答案 综合上述两种情况： 1. 流速加倍，阻力损失为原来的 **2** 倍。 2. 管径加倍，阻力损失为原来的 **1/4** 倍。 对应选项：**B. 2，1/4** 故正确答案为 **B**。