71.某篮球队共有九人，分三组举行三人制篮球赛，他们的球衣号码分别是从 1 号到 9 号， 分组后发现三组的球衣号码之和不同，且最大和是最小和的两倍。则各组号码之和不 可能是下列哪个数( )

这是一道典型的逻辑推理与数字组合问题。我们需要根据题目给出的约束条件，推导出三组号码之和的可能取值，从而判断哪个选项是不可能的。 ### 1. 分析题目条件 * **总人数与号码**：9人，号码为 $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$。 * **分组情况**：分为三组，每组3人。 * **总和计算**：所有号码之和为 $1+2+\dots+9 = \frac{(1+9)\times 9}{2} = 45$。 * **变量设定**：设三组的号码之和分别为 $S_1, S_2, S_3$，且满足 $S_1 < S_2 < S_3$（因为题目说“三组的球衣号码之和不同”）。 * **关键约束**： 1. $S_1 + S_2 + S_3 = 45$ 2. $S_3 = 2S_1$ （最大和是最小和的两倍） 3. $S_1, S_2, S_3$ 互不相等。 ### 2. 推导可能的和值 将 $S_3 = 2S_1$ 代入总和公式： $$S_1 + S_2 + 2S_1 = 45$$ $$3S_1 + S_2 = 45$$ $$S_2 = 45 - 3S_1$$ 由于 $S_1 < S_2 < S_3$，我们可以列出不等式来确定 $S_1$ 的取值范围： 1. **由 $S_1 < S_2$ 得：** $$S_1 < 45 - 3S_1$$ $$4S_1 < 45$$ $$S_1 < 11.25$$ 2. **由 $S_2 < S_3$ 得：** $$45 - 3S_1 < 2S_1$$ $$45 < 5S_1$$ $$S_1 > 9$$ 综合以上两个不等式，得到 $S_1$ 的取值范围： $$9 < S_1 < 11.25$$ 因为球衣号码都是整数，所以每组的和 $S_1$ 也必须是整数。在此范围内，$S_1$ 只能取 **10** 或 **11**。 ### 3. 验证具体情形 我们需要分别验证 $S_1=10$ 和 $S_1=11$ 时，是否存在合法的分组方案。 #### 情形一：当最小和 $S_1 = 10$ 时 * $S_1 = 10$ * $S_3 = 2 \times 10 = 20$ * $S_2 = 45 - 10 - 20 = 15$ * 此时三组和为：**10, 15, 20**。 * **检查是否可构造**： * 和为10的组合（3个不同数字，1-9之间）：例如 $\{1, 2, 7\}$, $\{1, 3, 6\}$, $\{1, 4, 5\}$, $\{2, 3, 5\}$ 等。 * 和为20的组合：例如 $\{9, 8, 3\}$, $\{9, 7, 4\}$, $\{9, 6, 5\}$ 等。 * 我们需要找到三组互不重叠的数字。 * 尝试构造： * 第一组（和10）：$\{1, 4, 5\}$ * 剩余数字：$2, 3, 6, 7, 8, 9$ * 第三组（和20）：从剩余中选3个和为20。$\{9, 8, 3\}$ 的和是 $9+8+3=20$。 * 剩余数字：$2, 6, 7$ * 第二组（和15）：$2+6+7=15$。符合！ * **结论**：$\{1,4,5\}, \{2,6,7\}, \{3,8,9\}$ 是一组合法解，对应的和分别为 10, 15, 20。 * 因此，**10** 是可能的最小和，**15** 是可能的中间和，**20** 是可能的最大和。 #### 情形二：当最小和 $S_1 = 11$ 时 * $S_1 = 11$ * $S_3 = 2 \times 11 = 22$ * $S_2 = 45 - 11 - 22 = 12$ * 此时三组和为：**11, 12, 22**。 * **检查是否可构造**： * 第一组（和11）：例如 $\{1, 2, 8\}$ * 剩余数字：$3, 4, 5, 6, 7, 9$ * 第三组（和22）：从剩余中选3个和为22。最大三个数 $9+7+6=22$。 * 剩余数字：$3, 4, 5$ * 第二组（和12）：$3+4+5=12$。符合！ * **结论**：$\{1,2,8\}, \{3,4,5\}, \{6,7,9\}$ 是一组合法解，对应的和分别为 11, 12, 22。 * 因此，**11** 是可能的最小和，**12** 是可能的中间和，**22** 是可能的最大和。 ### 4. 综合分析选项 题目问的是“各组号码之和**不可能**是下列哪个数”。这意味着我们要看选项中的数字是否出现在上述两种合法情形的任意一个组的和中。 * **情形一的和集合**：$\{10, 15, 20\}$ * **情形二的和集合**：$\{11, 12, 22\}$ 所有可能出现的组和为：$10, 11, 12, 15, 20, 22$。 现在逐一检查选项： * **A. 10**：在情形一中出现（作为最小和），**可能**。 * **B. 11**：在情形二中出现（作为最小和），**可能**。 * **C. 12**：在情形二中出现（作为中间和），**可能**。 * **D. 13**：既不在情形一 $\{10, 15, 20\}$ 中，也不在情形二 $\{11, 12, 22\}$ 中。 为了严谨，我们再次确认 $S_1$ 是否有其他整数值。前文已证 $9 < S_1 < 11.25$，整数只有 10 和 11。因此不存在其他情形。所以 13 绝不可能是任何一组的和。 ### 结论 各组号码之和只可能是 10, 11, 12, 15, 20, 22 中的一个。选项中只有 13 不在这些可能值之中。 故正确答案为 **D**。