70.高校管理学院某期培训班有不到 100 名学员。期中、期末两次考试平均分分别为 68 分和 75 分;期中考试不及格学员平均分为 53 分，及格学员平均分为 74 分;期末 考试不及格学员平均分为 47 分，及格学员平均分为 83 分。问这期培训班有多少名 学员( )

这是一道典型的**平均数混合问题**（也可视为十字交叉法或方程法的应用题）。我们需要利用“总分 = 平均分 × 人数”这一核心关系，结合整除特性来求解。 ### 1. 梳理已知条件 设培训班总人数为 $N$，且 $N < 100$。 **期中考试数据：** * 总平均分：68 分 * 不及格学员平均分：53 分 * 及格学员平均分：74 分 **期末考试数据：** * 总平均分：75 分 * 不及格学员平均分：47 分 * 及格学员平均分：83 分 ### 2. 逻辑推导与计算 我们可以分别针对期中及期末两次考试，建立关于人数的方程，找出总人数 $N$ 必须满足的倍数关系。 #### 第一步：分析期中考试的人数比例 设期中考试中，不及格人数为 $x_1$，及格人数为 $y_1$。 根据总分守恒： $$53 x_1 + 74 y_1 = 68 (x_1 + y_1)$$ 展开并整理： $$53 x_1 + 74 y_1 = 68 x_1 + 68 y_1$$ $$74 y_1 - 68 y_1 = 68 x_1 - 53 x_1$$ $$6 y_1 = 15 x_1$$ 化简得： $$2 y_1 = 5 x_1 \implies \frac{x_1}{y_1} = \frac{2}{5}$$ 这意味着，在期中考试中，不及格人数与及格人数之比为 $2:5$。 因此，总人数 $N = x_1 + y_1$ 必须是 $2+5=7$ 的倍数。 即：**$N$ 是 7 的倍数。** #### 第二步：分析期末考试的人数比例 设期末考试中，不及格人数为 $x_2$，及格人数为 $y_2$。 根据总分守恒： $$47 x_2 + 83 y_2 = 75 (x_2 + y_2)$$ 展开并整理： $$47 x_2 + 83 y_2 = 75 x_2 + 75 y_2$$ $$83 y_2 - 75 y_2 = 75 x_2 - 47 x_2$$ $$8 y_2 = 28 x_2$$ 化简得： $$2 y_2 = 7 x_2 \implies \frac{x_2}{y_2} = \frac{2}{7}$$ 这意味着，在期末考试中，不及格人数与及格人数之比为 $2:7$。 因此，总人数 $N = x_2 + y_2$ 必须是 $2+7=9$ 的倍数。 即：**$N$ 是 9 的倍数。** #### 第三步：综合判断 根据上述推导，总人数 $N$ 必须同时满足以下两个条件： 1. $N$ 是 7 的倍数。 2. $N$ 是 9 的倍数。 因为 7 和 9 互质，所以 $N$ 必须是 $7 \times 9 = 63$ 的倍数。 题目已知学员人数不到 100 名（$N < 100$），且在正整数范围内： * 63 的 1 倍是 63。 * 63 的 2 倍是 126（超过 100，舍去）。 因此，唯一的可能人数是 **63**。 ### 3. 验证选项 * A. 42：是 7 的倍数，但不是 9 的倍数。 * B. 54：是 9 的倍数，但不是 7 的倍数。 * C. 63：既是 7 的倍数，也是 9 的倍数。符合。 * D. 77：是 7 的倍数，但不是 9 的倍数。 ### 结论 这期培训班的学员人数为 63 人。 故正确答案为 **C**。