319.职工发生事故伤害，应当( )工伤认定申请。

这是一道关于工伤认定申请流程的选择题。我们需要根据《工伤保险条例》的相关规定来判断哪个选项是正确的。

首先，我们逐一分析选项内容：

A项：只能由用人单位提出

这个选项是片面的。虽然用人单位有责任在职工发生事故伤害后提出工伤认定申请，但并非只有用人单位才能提出。职工本人或其直系亲属、工会组织也有权提出。

B项：只能由职工本人提出

这个选项同样是片面的。工伤认定申请并非只能由职工本人提出，用人单位和工会组织同样有权利和责任提出。

C项：先由用人单位提出，用人单位不提出工伤认定的，由职工或者其直系亲属、工会组织提出

这个选项完全符合《工伤保险条例》的规定。《工伤保险条例》第十七条规定：“职工发生事故伤害或者按照职业病防治法规定被诊断、鉴定为职业病，所在单位应当自事故伤害发生之日或者被诊断、鉴定为职业病之日起30日内，向统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。遇有特殊情况，经报社会保险行政部门同意，申请时限可以适当延长。用人单位未按前款规定提出工伤认定申请的，工伤职工或者其近亲属、工会组织在事故伤害发生之日或者被诊断、鉴定为职业病之日起1年内，可以直接向用人单位所在地统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。”

因此，C项不仅指出了用人单位的首要责任，还明确了在用人单位未履行职责时，职工或其直系亲属、工会组织有权提出工伤认定申请，是全面且准确的答案。

综上所述，答案是C：先由用人单位提出，用人单位不提出工伤认定的，由职工或者其直系亲属、工会组织提出。