48.一梯形渠道,n=0.013,底宽b=2m,边坡为i=1:0.5,水深h=1.5m,坡降J=1/2000,则该渠道可通过的流量为Q=()m3/s。

这是一道关于明渠均匀流流量计算的水力学题目。我们需要利用**曼宁公式（Manning Formula）**来求解。 ### 1. 明确已知条件 * 粗糙系数 $n = 0.013$ * 底宽 $b = 2 \, \text{m}$ * 边坡系数 $m$：题目中表述为“边坡为 $i=1:0.5$”。在梯形渠道的标准表示法中，边坡通常表示为 $1:m$（垂直:水平）。 * 这里需要仔细辨析符号含义。通常工程上说“边坡 1:m”，指垂直高度为1时，水平宽度为 $m$。 * 题目写的是 $1:0.5$，即垂直1对应水平0.5。因此，边坡系数 $m = 0.5$。 * *注：有些教材或语境下可能混淆 $i$ 和 $m$，但根据常规梯形断面几何关系，若坡度陡峭（1:0.5），则 $m=0.5$；若坡度平缓（如1:1.5），则 $m=1.5$。此处按 $m=0.5$ 计算。* * 水深 $h = 1.5 \, \text{m}$ * 底坡（坡降） $J = 1/2000 = 0.0005$ * *注意：题目中的 $J$ 即为水力坡度 $S$ 或 $i_{bottom}$，在均匀流中等于底坡。* ### 2. 计算几何要素 对于梯形渠道，我们需要计算过水断面面积 $A$ 和湿周 $\chi$，进而得到水力半径 $R$。 **（1）过水断面面积 $A$** 公式：$A = (b + mh)h$ 代入数值： $$ \begin{aligned} A &= (2 + 0.5 \times 1.5) \times 1.5 \\ &= (2 + 0.75) \times 1.5 \\ &= 2.75 \times 1.5 \\ &= 4.125 \, \text{m}^2 \end{aligned} $$ **（2）湿周 $\chi$** 公式：$\chi = b + 2h\sqrt{1 + m^2}$ 代入数值： $$ \begin{aligned} \chi &= 2 + 2 \times 1.5 \times \sqrt{1 + 0.5^2} \\ &= 2 + 3 \times \sqrt{1.25} \\ &\approx 2 + 3 \times 1.118 \\ &\approx 2 + 3.354 \\ &\approx 5.354 \, \text{m} \end{aligned} $$ **（3）水力半径 $R$** 公式：$R = \frac{A}{\chi}$ 代入数值： $$ R = \frac{4.125}{5.354} \approx 0.7705 \, \text{m} $$ ### 3. 利用曼宁公式计算流量 $Q$ 曼宁公式为： $$ Q = \frac{1}{n} A R^{2/3} J^{1/2} $$ *(注：国际单位制下，系数为 1/n)* 代入已知数值： * $n = 0.013$ * $A = 4.125$ * $R \approx 0.7705$ * $J = 0.0005$ **逐步计算：** 1. 计算 $R^{2/3}$： $$ R^{2/3} = (0.7705)^{2/3} \approx 0.840 $$ *(详细计算：$0.7705^{0.6667} \approx 0.8403$)* 2. 计算 $J^{1/2}$： $$ J^{1/2} = \sqrt{0.0005} \approx 0.02236 $$ 3. 计算谢才系数 $C$ 或直接代入： $$ \begin{aligned} Q &= \frac{1}{0.013} \times 4.125 \times 0.8403 \times 0.02236 \\ &= 76.923 \times 4.125 \times 0.8403 \times 0.02236 \\ \end{aligned} $$ 先算后半部分乘积： $$ 4.125 \times 0.8403 \times 0.02236 \approx 0.0775 $$ 最后计算 $Q$： $$ Q \approx 76.923 \times 0.0775 \approx 5.96 \, \text{m}^3/\text{s} $$ ### 4. 结论分析 计算结果 $Q \approx 5.96 \, \text{m}^3/\text{s}$。 观察选项： A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 $5.96$ 非常接近 $6$。考虑到计算过程中的舍入误差以及工程计算的允许精度，最合适的选项是 **D**。 ### 最终答案 **D**