下列行政案件，应当经公安派出所或者县级公安机关办 案部门以上负责人批准终止调查的是(　)。

这是一道关于行政案件终止调查条件的选择题。让我们逐一分析每个选项，以便更好地理解为何A选项是正确答案。 首先，我们需要明确《公安机关办理行政案件程序规定》中关于终止调查的相关规定。根据该规定，某些情况下，经过调查后，如果案件不符合立案条件或者因其他原因无需继续调查，可以经过一定级别的负责人批准后终止调查。 现在，我们来分析每个选项： A选项（甲被人举报有嫖娼行为，受理案件后，经民警调查，甲与所谓的“卖淫女”乙系恋人关系）：在这个情况下，经过调查，发现甲与乙之间是恋人关系，因此所谓的“嫖娼”行为并不存在。这是一个典型的因事实不成立而无需继续调查的情况，符合终止调查的条件。 B选项（甲被人举报有赌博行为，经调查，与甲在一起打麻将（有财物输赢）的人均为甲的亲属，其打麻将纯属娱乐，每人约输赢1万元）：虽然甲与其亲属打麻将的行为被认定为娱乐而非赌博，但这里涉及到了财物输赢，且金额不小。在某些情况下，这可能仍然被视为违法行为（尽管情节较轻）。此外，该选项并未直接说明该案件已经过调查并确定无需进一步处理，因此不完全符合终止调查的直接条件。 C选项（甲故意伤害案件，被侵害人经鉴定为轻伤，公安机关将其转为刑事案件）：这个选项明确指出了案件已经转为刑事案件。在刑事案件处理流程中，不会存在行政案件的终止调查，因此这个选项与题目要求不符。 D选项（甲故意损毁财物案件，经过公安机关调解达成协议，并已向被侵害人乙履行）：虽然案件已经通过调解解决，但调解通常是在案件调查清楚、责任明确之后进行的一种处理方式。这里的“调解达成协议并已履行”更多地是案件处理的结果，而不是终止调查的直接原因。此外，即使调解成功，也并不意味着案件必然终止调查，因为还需要进行后续的结案等程序。 综上所述，A选项最符合《公安机关办理行政案件程序规定》中关于终止调查的条件：经过调查后，发现案件事实不成立或者无需继续调查。 因此，正确答案是A：甲被人举报有嫖娼行为，受理案件后，经民警调查，甲与所谓的“卖淫女”乙系恋人关系。