360.在间歇反应器中进行一级反应,如反应时间为1H,转化率为0.8,如反应时间为2H,转化率为[ ],如反应时间为0.5H,转化率为[ ]。

这是一道关于**间歇反应器中一级反应动力学**的计算题。我们需要利用一级反应的积分速率方程来求解不同反应时间下的转化率。 ### 1. 理论基础 对于间歇反应器中的一级不可逆反应 $A \rightarrow P$，其反应速率方程为： $$ -r_A = -\frac{dC_A}{dt} = k C_A $$ 其中： * $C_A$ 为反应物 A 的浓度 * $k$ 为反应速率常数 * $t$ 为反应时间 对速率方程进行积分，可得一级反应的积分形式： $$ \ln\left(\frac{C_{A0}}{C_A}\right) = kt $$ 引入转化率 $x_A$ 的定义：$C_A = C_{A0}(1 - x_A)$，代入上式： $$ \ln\left(\frac{C_{A0}}{C_{A0}(1 - x_A)}\right) = kt $$ $$ \ln\left(\frac{1}{1 - x_A}\right) = kt $$ 或者写作： $$ -\ln(1 - x_A) = kt $$ 由此可知，对于一级反应，$-\ln(1 - x_A)$ 与时间 $t$ 成正比。即： $$ \frac{-\ln(1 - x_{A1})}{t_1} = \frac{-\ln(1 - x_{A2})}{t_2} = k $$ ### 2. 计算步骤 **第一步：根据已知条件求速率常数 $k$（或建立比例关系）** 已知： * $t_1 = 1 \text{ h}$ * $x_{A1} = 0.8$ 代入公式： $$ k = \frac{-\ln(1 - 0.8)}{1} = -\ln(0.2) $$ $$ k \approx -(-1.6094) = 1.6094 \text{ h}^{-1} $$ **第二步：计算 $t_2 = 2 \text{ h}$ 时的转化率 $x_{A2}$** 利用公式 $-\ln(1 - x_{A2}) = k t_2$： $$ -\ln(1 - x_{A2}) = 1.6094 \times 2 $$ $$ -\ln(1 - x_{A2}) = 3.2188 $$ $$ \ln(1 - x_{A2}) = -3.2188 $$ $$ 1 - x_{A2} = e^{-3.2188} $$ *技巧提示：也可以直接利用比例关系，因为 $t_2 = 2t_1$，所以指数部分是原来的平方关系（针对浓度比）：* $$ \frac{C_{A2}}{C_{A0}} = e^{-k t_2} = e^{-2k} = (e^{-k})^2 $$ 已知 $t_1=1$ 时，$\frac{C_{A1}}{C_{A0}} = 1 - 0.8 = 0.2$。 所以当 $t_2=2$ 时，剩余分数为 $0.2^2 = 0.04$。 $$ 1 - x_{A2} = 0.04 $$ $$ x_{A2} = 1 - 0.04 = 0.96 $$ **第三步：计算 $t_3 = 0.5 \text{ h}$ 时的转化率 $x_{A3}$** 同样利用比例关系，因为 $t_3 = 0.5 t_1 = \frac{1}{2} t_1$： $$ \frac{C_{A3}}{C_{A0}} = e^{-k t_3} = e^{-0.5k} = (e^{-k})^{0.5} = \sqrt{e^{-k}} $$ 已知 $e^{-k} = 0.2$（即 $t=1$ 时的剩余分数）。 所以当 $t_3=0.5$ 时，剩余分数为 $\sqrt{0.2}$。 $$ 1 - x_{A3} = \sqrt{0.2} \approx 0.4472 $$ $$ x_{A3} = 1 - 0.4472 = 0.5528 $$ 保留两位小数，约为 **0.55**。 ### 3. 结论 * 当反应时间为 2H 时，转化率为 **0.96**。 * 当反应时间为 0.5H 时，转化率为 **0.55**。 对比选项： A. 0.9, 0.5 B. 0.96, 0.55 C. 0.96, 0.5 D. 0.9, 0.55 故正确答案为 **B**。