1168、当流量、管长和管子的摩擦系数等不变时,管路阻力近似地与管径的( )次方成反比。

这是一道关于流体力学中管路阻力计算的题目。我们需要推导在流量、管长和摩擦系数不变的情况下，管路阻力（通常指压降或能量损失）与管径的关系。 ### 1. 核心公式回顾 管路沿程阻力损失（压降 $\Delta P$ 或水头损失 $h_f$）通常使用 **达西-魏斯巴赫公式 (Darcy-Weisbach Equation)** 来描述： $$ h_f = \lambda \cdot \frac{L}{d} \cdot \frac{v^2}{2g} $$ 或者以压强降 $\Delta P$ 表示： $$ \Delta P = \lambda \cdot \frac{L}{d} \cdot \frac{\rho v^2}{2} $$ 其中： * $\lambda$ (或 $f$)：摩擦系数（题目已知不变） * $L$：管长（题目已知不变） * $d$：管径 * $v$：流体流速 * $\rho$：流体密度 * $g$：重力加速度 ### 2. 引入流量约束 题目中给出的关键条件是 **“流量 ($Q$) 不变”**。我们需要将公式中的流速 $v$ 替换为流量 $Q$ 和管径 $d$ 的关系。 流量公式为： $$ Q = A \cdot v = \frac{\pi d^2}{4} \cdot v $$ 由此可得流速 $v$ 的表达式： $$ v = \frac{4Q}{\pi d^2} $$ ### 3. 推导阻力与管径的关系 将流速 $v$ 的表达式代入达西-魏斯巴赫公式中： $$ \Delta P = \lambda \cdot \frac{L}{d} \cdot \frac{\rho}{2} \cdot \left( \frac{4Q}{\pi d^2} \right)^2 $$ 展开平方项： $$ \Delta P = \lambda \cdot \frac{L}{d} \cdot \frac{\rho}{2} \cdot \frac{16 Q^2}{\pi^2 d^4} $$ 整理常数项和变量项： $$ \Delta P = \left( \frac{8 \lambda L \rho Q^2}{\pi^2} \right) \cdot \frac{1}{d \cdot d^4} $$ $$ \Delta P = \left( \frac{8 \lambda L \rho Q^2}{\pi^2} \right) \cdot \frac{1}{d^5} $$ ### 4. 结论分析 根据题目条件： * 流量 $Q$ 不变 * 管长 $L$ 不变 * 摩擦系数 $\lambda$ 不变 * 流体密度 $\rho$ 视为不变 因此，括号内的部分 $\left( \frac{8 \lambda L \rho Q^2}{\pi^2} \right)$ 均为常数。 所以，管路阻力 $\Delta P$ 与管径 $d$ 的关系为： $$ \Delta P \propto \frac{1}{d^5} $$ 即：管路阻力近似地与管径的 **5** 次方成反比。 ### 最终答案 故正确选项为 **D**。