30.一个电热器，接在 10V 的直流电源上，产生的功率为 P。把它改接在正弦交流电源上，使其产生的功率 为 P/2，则正弦交流电源电压的最大值为() ( )

好的，我们来分析一下这道题目。 ### 题目背景 题目描述了一个电热器，当它连接到10V的直流电源时，产生的功率为P。然后，将电热器改接到一个正弦交流电源上，使得产生的功率为P/2。我们需要找出这个正弦交流电源的最大值。 ### 分析 1. **直流电源情况**： - 电热器的电阻为R。 - 直流电压为10V。 - 功率为P。 - 根据功率公式 \( P = \frac{V^2}{R} \)，可以得到： \[ P = \frac{10^2}{R} = \frac{100}{R} \] 2. **交流电源情况**： - 设正弦交流电源的有效值为 \( V_{\text{rms}} \)。 - 正弦交流电源的最大值为 \( V_{\text{max}} \)。 - 有效值和最大值之间的关系为 \( V_{\text{rms}} = \frac{V_{\text{max}}}{\sqrt{2}} \)。 - 在交流电源下，电热器的功率为P/2。 - 根据功率公式 \( P = \frac{V_{\text{rms}}^2}{R} \)，可以得到： \[ \frac{P}{2} = \frac{V_{\text{rms}}^2}{R} \] - 代入 \( P = \frac{100}{R} \)： \[ \frac{\frac{100}{R}}{2} = \frac{V_{\text{rms}}^2}{R} \] \[ \frac{100}{2R} = \frac{V_{\text{rms}}^2}{R} \] \[ 50 = V_{\text{rms}}^2 \] \[ V_{\text{rms}} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \approx 7.07 \text{V} \] 3. **求最大值**： - 由于 \( V_{\text{rms}} = \frac{V_{\text{max}}}{\sqrt{2}} \)，可以解出 \( V_{\text{max}} \)： \[ V_{\text{max}} = V_{\text{rms}} \times \sqrt{2} = 5\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 5 \times 2 = 10 \text{V} \] ### 选项分析 - **A. 7.07V**：这是交流电源的有效值，而不是最大值。 - **B. 5V**：这个值太小，不符合计算结果。 - **C. 14V**：这个值太大，不符合计算结果。 - **D. 10V**：这是正确的答案，因为它是交流电源的最大值。 ### 结论 正确答案是 **D. 10V**。这是因为当正弦交流电源的最大值为10V时，其有效值为7.07V，这样电热器产生的功率正好是P/2。