当弦长一定时,圆曲线正矢随半径R的增大而( )。

好的，让我们来详细解析这道题目。 ### 题目背景 题目涉及的是圆曲线的几何性质，特别是弦长和正矢的关系。在工程测量、道路设计等领域中，这些概念非常重要。 ### 关键概念 1. **弦长**：连接圆上两点的线段长度。 2. **正矢**：从弦的中点到圆弧的最高点（即圆心垂线与圆弧的交点）的距离。 3. **半径**：圆的半径，即圆心到圆上任意一点的距离。 ### 题目解析 题目要求我们分析当弦长一定时，圆曲线的正矢如何随半径 \( R \) 的变化而变化。 #### 选项分析 - **A. 减小**：当半径 \( R \) 增大时，正矢会减小。 - **B. 增大**：当半径 \( R \) 增大时，正矢会增大。 - **C. 不变**：当半径 \( R \) 增大时，正矢保持不变。 - **D. 增大或不变**：当半径 \( R \) 增大时，正矢可能增大或保持不变。 ### 解析过程 1. **弦长固定**：假设弦长为 \( L \)，弦的中点到圆心的距离为 \( d \)。 2. **正矢公式**：正矢 \( f \) 可以用以下公式表示： \[ f = R - \sqrt{R^2 - \left(\frac{L}{2}\right)^2} \] 其中，\( R \) 是半径，\( L \) 是弦长。 3. **分析公式**： - 当 \( R \) 增大时，\( R^2 \) 也增大。 - 由于 \( L \) 固定，\(\left(\frac{L}{2}\right)^2\) 也是固定的。 - 因此，\(\sqrt{R^2 - \left(\frac{L}{2}\right)^2}\) 会随着 \( R \) 的增大而增大。 - 但是，增大的速度比 \( R \) 的增长速度慢，所以 \( R - \sqrt{R^2 - \left(\frac{L}{2}\right)^2} \) 会减小。 ### 示例 假设弦长 \( L = 4 \) 单位，我们计算不同半径 \( R \) 下的正矢 \( f \)： - 当 \( R = 5 \) 时： \[ f = 5 - \sqrt{5^2 - 2^2} = 5 - \sqrt{25 - 4} = 5 - \sqrt{21} \approx 5 - 4.58 \approx 0.42 \] - 当 \( R = 10 \) 时： \[ f = 10 - \sqrt{10^2 - 2^2} = 10 - \sqrt{100 - 4} = 10 - \sqrt{96} \approx 10 - 9.80 \approx 0.20 \] 从这个例子可以看出，当半径 \( R \) 增大时，正矢 \( f \) 确实减小了。 ### 结论 因此，正确答案是 **A. 减小**。当弦长一定时，圆曲线的正矢随半径 \( R \) 的增大而减小。