曲线半径R、弦长L、正矢f之间的关系是( )。

好的，我们来详细解析一下这道题目。 ### 题目背景 题目涉及的是圆的几何性质，特别是圆弧（曲线）的半径 \( R \)、弦长 \( L \) 和正矢 \( f \) 之间的关系。正矢 \( f \) 是指从弦的中点到圆弧的最高点的距离。 ### 公式推导 为了理解这些选项，我们需要从基本的几何关系出发。假设我们有一个圆，圆心为 \( O \)，半径为 \( R \)，弦长为 \( L \)，正矢为 \( f \)。 1. **弦长和半径的关系**： - 弦的一半长度为 \( \frac{L}{2} \)。 - 从圆心 \( O \) 到弦的中点 \( M \) 的距离为 \( R - f \)。 2. **直角三角形的性质**： - 在直角三角形 \( OMC \) 中，\( OC = R \)，\( OM = R - f \)，\( MC = \frac{L}{2} \)。 - 根据勾股定理： \[ R^2 = (R - f)^2 + \left(\frac{L}{2}\right)^2 \] 3. **展开并简化**： - 展开平方项： \[ R^2 = R^2 - 2Rf + f^2 + \left(\frac{L}{2}\right)^2 \] - 消去 \( R^2 \)： \[ 0 = -2Rf + f^2 + \left(\frac{L}{2}\right)^2 \] - 移项并整理： \[ 2Rf = f^2 + \left(\frac{L}{2}\right)^2 \] - 忽略 \( f^2 \) 项（因为 \( f \) 通常很小）： \[ 2Rf \approx \left(\frac{L}{2}\right)^2 \] - 进一步简化： \[ 2Rf \approx \frac{L^2}{4} \] - 解出 \( f \)： \[ f \approx \frac{L^2}{8R} \] ### 选项分析 - **选项 A: \( f = \frac{L^2}{8R} \)**：这是通过上述推导得到的正确公式。 - **选项 B: \( f = \frac{L^2}{6R} \)**：系数不正确，不符合推导结果。 - **选项 C: \( f = \frac{L^2}{5R} \)**：系数不正确，不符合推导结果。 - **选项 D: \( f = \frac{L^2}{10R} \)**：系数不正确，不符合推导结果。 ### 答案 因此，正确答案是 **A. \( f = \frac{L^2}{8R} \)**。 ### 示例 假设一个圆的半径 \( R = 10 \) 米，弦长 \( L = 6 \) 米，我们可以计算正矢 \( f \)： \[ f = \frac{L^2}{8R} = \frac{6^2}{8 \times 10} = \frac{36}{80} = 0.45 \text{ 米} \]