64.设 a，b 均为正整数，且有等式 11a +7b=132 成立，则 a 的值为 ( )

这是一道关于不定方程整数解的题目。我们可以通过整除特性或代入排除法来求解。 ### 方法一：利用整除特性分析 1. **观察方程**： $$11a + 7b = 132$$ 2. **分析整除关系**： 观察方程中的系数和常数项，发现 $11$ 和 $132$ 都是 $11$ 的倍数。 $$132 \div 11 = 12$$ 因此，方程可以变形为： $$7b = 132 - 11a$$ $$7b = 11(12 - a)$$ 3. **推导 $b$ 的性质**： 由于 $7$ 和 $11$ 互质（最大公约数为1），要使等式成立，$(12 - a)$ 必须是 $7$ 的倍数，或者说 $b$ 必须包含因子 $11$。 更直接地看，因为 $11a$ 和 $132$ 都能被 $11$ 整除，所以 $7b$ 也必须能被 $11$ 整除。 因为 $7$ 不能被 $11$ 整除，所以 **$b$ 必须是 $11$ 的倍数**。 4. **确定 $b$ 的值**： 题目已知 $b$ 为正整数。 - 若 $b = 11$，代入原方程： $$11a + 7 \times 11 = 132$$ $$11a + 77 = 132$$ $$11a = 132 - 77$$ $$11a = 55$$ $$a = 5$$ 此时 $a=5$ 是正整数，符合题意。 - 若 $b = 22$，则 $7 \times 22 = 154 > 132$，此时 $11a$ 将为负数，不符合 $a$ 为正整数的条件。 - 若 $b$ 取更小的 $11$ 的倍数（如 $0$ 或负数），不符合“正整数”的条件。 因此，唯一解为 $b=11, a=5$。 ### 方法二：代入排除法（适用于选择题） 将选项中的 $a$ 值依次代入方程 $11a + 7b = 132$，检查求出的 $b$ 是否为正整数。 * **A. $a = 6$** $$11 \times 6 + 7b = 132 \Rightarrow 66 + 7b = 132 \Rightarrow 7b = 66$$ $b = 66/7$，不是整数，排除。 * **B. $a = 4$** $$11 \times 4 + 7b = 132 \Rightarrow 44 + 7b = 132 \Rightarrow 7b = 88$$ $b = 88/7$，不是整数，排除。 * **C. $a = 3$** $$11 \times 3 + 7b = 132 \Rightarrow 33 + 7b = 132 \Rightarrow 7b = 99$$ $b = 99/7$，不是整数，排除。 * **D. $a = 5$** $$11 \times 5 + 7b = 132 \Rightarrow 55 + 7b = 132 \Rightarrow 7b = 77$$ $b = 11$，是正整数，符合题意。 ### 结论 综上所述，$a$ 的值为 5。 故正确答案为 **D**。