42.某市气象局观测发现，今年第一、二季度本市降水量分别比去年同期增加了 11% 和 9%， 而两个季度降水量的绝对增量刚好相同。那么今年上半年该市降水量同比增长多( )

这是一道典型的**增长率混合问题**，可以通过设未知数建立方程或使用“十字交叉法”的逆向思维来求解。以下是详细的解析过程： ### 1. 梳理已知条件 * **第一季度**：同比增长率 $r_1 = 11\%$ * **第二季度**：同比增长率 $r_2 = 9\%$ * **关键条件**：两个季度降水量的**绝对增量**相同。 ### 2. 逻辑推导与计算 #### 方法一：代数法（通用且严谨） 设去年第一季度的降水量为 $A$，去年第二季度的降水量为 $B$。 设两个季度的绝对增量均为 $\Delta$。 根据增长率的定义： $$ \text{绝对增量} = \text{去年基数} \times \text{增长率} $$ 由此可得： 1. 第一季度：$\Delta = A \times 11\% \Rightarrow A = \frac{\Delta}{0.11}$ 2. 第二季度：$\Delta = B \times 9\% \Rightarrow B = \frac{\Delta}{0.09}$ 今年上半年总的同比增长率 $R$ 定义为： $$ R = \frac{\text{今年总增量}}{\text{去年总基数}} = \frac{\Delta + \Delta}{A + B} = \frac{2\Delta}{A + B} $$ 将 $A$ and $B$ 代入公式： $$ R = \frac{2\Delta}{\frac{\Delta}{0.11} + \frac{\Delta}{0.09}} $$ 消去 $\Delta$： $$ R = \frac{2}{\frac{1}{0.11} + \frac{1}{0.09}} $$ 通分计算分母： $$ \frac{1}{0.11} + \frac{1}{0.09} = \frac{100}{11} + \frac{100}{9} = 100 \left( \frac{1}{11} + \frac{1}{9} \right) = 100 \left( \frac{9+11}{99} \right) = 100 \times \frac{20}{99} = \frac{2000}{99} $$ 代回原式： $$ R = \frac{2}{\frac{2000}{99}} = 2 \times \frac{99}{2000} = \frac{198}{2000} = \frac{99}{1000} = 0.099 $$ 转化为百分数： $$ R = 9.9\% $$ --- #### 方法二：调和平均数视角（快速解题技巧） 当两个部分的**绝对增长量**相等时，整体的增长率实际上是两个部分增长率的**调和平均数**。 公式为： $$ R = \frac{2 \cdot r_1 \cdot r_2}{r_1 + r_2} $$ 代入数据： $$ R = \frac{2 \times 11\% \times 9\%}{11\% + 9\%} $$ $$ R = \frac{2 \times 0.11 \times 0.09}{0.20} $$ $$ R = \frac{0.0198}{0.20} $$ $$ R = 0.099 = 9.9\% $$ > **注意**：很多考生容易误选 A (9.5%)，那是算术平均数 $\frac{11\%+9\%}{2}$ 的结果。只有当两个季度的**去年基数**相同时，整体增长率才是算术平均数。而本题条件是**绝对增量**相同，意味着基数不同（增长率低的基数大，权重更高），因此整体增长率会偏向基数大的一方（即偏向 9%），所以结果一定小于 9.5% 吗？ > > 等等，让我们重新检查权重逻辑： > * $A = \Delta / 0.11$ > * $B = \Delta / 0.09$ > * 因为 $0.09 < 0.11$，所以 $B > A$。 > * 第二季度的基数 $B$ 更大，所以在计算加权平均时，9% 的权重更大。 > * 算术平均是 10%。由于权重偏向较小的增长率 (9%)，最终结果应**小于**算术平均值 10%。 > * 9.9% 确实小于 10%，符合逻辑。 ### 3. 结论 今年上半年该市降水量同比增长为 **9.9%**。 故正确答案为 **C**。