甲路过偏僻路段，看到其友乙强奸丙的犯罪事实。甲的下列哪一行为构成包庇罪?

解析：本题考查了包庇罪的认定。根据《刑法》第310条的规定，包庇罪是指明知是犯罪的人而作假证明包庇的行为。包庇的核心在于“积极做假证明”为犯罪分子开脱。如果没有作假证明的，不可能构成包庇罪；如果有窝藏行为的可能构成窝藏罪。C选项，对侦查人员声称乙、丙系恋人，因乙另有新欢遭丙报案诬陷的行为属于直接向侦查机关做假证明使得其意欲保护的人不受刑事追究的行为，符合包庇罪的基本特征。故C选项正确。A选项，用手机向乙通报公安机关抓捕乙的消息，其并没有作假证明对乙进行包庇，故不构成包庇罪。如果行为人属于查禁该犯罪的国家工作人员，则构成帮助犯罪分子逃避处罚罪；如果行为人是一般的人员，则他的行为可能构成窝藏罪。故A选项错误。BD选项，作证是证人的义务，但是，出庭作证与否以及作证的时候说不说话，行为人有自己的自由。法律不能强人所难，非得强迫证人说话或者做出不利于证人不愿看到受到追究的人的证词，不能将这种不作为看作是窝藏罪或者包庇罪。因为这两种罪都是处罚现实的直接使刑事追究活动变得困难的实行行为。故BD选项错误。综上所述，本题答案为C。