人民警察执行职务,必须自觉地接受社会和公民的监督,人民警察机关涉及与公众利益直接有关的规定,应当( )。

这道题目考察的是人民警察在执行职务过程中对于信息公开与公众监督的遵守情况。

选项分析如下：

A. 向上级机关备案：这种做法主要是内部管理程序，虽然重要，但它不是直接面向公众的透明措施。
B. 向同级人民政府报告：这也是一种内部沟通方式，它保证了政府不同部门之间的信息流通，但同样没有直接让公众知情。
C. 向公众公布：这是最符合题意的做法，因为题干强调的是“涉及与公众利益直接有关”的规定，所以应当确保公众能够获取这些信息，以便进行有效的监督。
D. 向上级机关备案并向同级人民政府报告：虽然包含了更多的信息传递步骤，但是并没有直接涉及到公众，因此不完全符合题干的要求。

正确答案是C，即向公众公布。这是因为只有公开信息才能使公众了解相关规定，并对警察的工作进行有效的监督，符合题干中提到的“自觉地接受社会和公民的监督”的要求。