某县村民张某和李某因矛盾发生纠纷,争执中张某将李某鼻梁骨打断,李某报警,经鉴定为轻伤。公安机关在查清事实并征得当事人双方同意的基础上,组织双方达成了和解协议,当事人双方提请公安机关就此结案。下列关于公安机关处理该案表述正确的是:

根据中国现行的刑事诉讼法及相关规定，对于某些轻微的刑事案件，在特定条件下是可以进行和解的。本题中的情境涉及的是轻伤害案件，属于可能适用刑事和解程序的情形之一。

选项分析如下：
A. 灵活运用法律让当事人双方都满意：虽然和解的目的之一是使双方满意，但是和解还需要符合法律规定，不能仅凭双方意愿决定。
B. 程序违法,刑事案件不能和解：这是不正确的说法，因为在中国，某些轻微的刑事案件确实可以通过和解来解决。
C. 可以和解但需将案件移送检察院：这一选项指出了即使双方达成和解，由于涉及到刑事责任，最终案件还是需要通过检察机关来审查是否提起公诉或作出不起诉决定。
D. 不能和解也不能结案：这是错误的说法，因为轻伤害案件在满足一定条件下是可以和解的。

因此，正确答案是C，即可以和解但需将案件移送检察院。这是因为尽管双方已经达成和解协议，但由于涉及的是刑事案件，为了确保公正性，案件应当移交给检察院进一步处理。