75.某一重力坝断面为梯形,顶宽4m,底宽23m,坝高30m,上游水深为27m,下游水深为0m,坝基扬压力简化为三角形,扬压力系数值α取0.4,混凝土的重度为23.5kN/m3,假设其抗滑安全系数为1.15,坝基面的摩擦系数f为0.6,水的重度取1023.5kN/m3。计算其抗滑稳定安全系数约为(),并判定大坝是否稳定。

这是一道关于重力坝抗滑稳定计算的工程力学题目。我们需要计算作用在坝基面上的垂直力总和（$\sum W$）和水平力总和（$\sum P$），然后利用抗滑稳定公式计算安全系数 $K$。 **注意：** 题目中给出的“水的重度取 $1023.5 \text{kN/m}^3$”显然是一个印刷错误，水的重度通常取 $\gamma_w = 9.81 \text{kN/m}^3$ 或简化为 $10 \text{kN/m}^3$。结合混凝土重度 $23.5 \text{kN/m}^3$ 的数值精度，以及选项的特征，本题应按 **$\gamma_w = 10 \text{kN/m}^3$** 进行计算（这是水利工程计算中常用的简化值）。如果按 $9.81$ 计算，结果会略有不同，但通常这类考试题倾向于整数或简单小数以便手算。我们将采用 $\gamma_w = 10 \text{kN/m}^3$ 进行推导。 ### 1. 计算几何参数与荷载 **基本参数：** * 坝顶宽 $b_{top} = 4 \text{ m}$ * 坝底宽 $B = 23 \text{ m}$ * 坝高 $H = 30 \text{ m}$ * 上游水深 $h_1 = 27 \text{ m}$ * 下游水深 $h_2 = 0 \text{ m}$ * 混凝土重度 $\gamma_c = 23.5 \text{kN/m}^3$ * 水重度 $\gamma_w = 10 \text{kN/m}^3$ * 扬压力系数 $\alpha = 0.4$ * 摩擦系数 $f = 0.6$ #### (1) 计算坝体自重 ($W$) 将梯形断面分解为一个矩形和一个三角形，或者直接使用梯形面积公式。 梯形面积 $A = \frac{(b_{top} + B) \times H}{2} = \frac{(4 + 23) \times 30}{2} = \frac{27 \times 30}{2} = 405 \text{ m}^2$ 坝体自重（每米坝长）： $$ W = A \times \gamma_c = 405 \times 23.5 = 9517.5 \text{ kN} $$ #### (2) 计算静水压力 ($P$) **上游水平水压力 ($P_1$)：** 作用在上游坝面，水深 $h_1 = 27 \text{ m}$。 $$ P_1 = \frac{1}{2} \gamma_w h_1^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times 27^2 = 5 \times 729 = 3645 \text{ kN} $$ **下游水平水压力 ($P_2$)：** 下游水深为 0，故 $P_2 = 0 \text{ kN}$。 **总水平推力 ($\sum P$)：** $$ \sum P = P_1 - P_2 = 3645 \text{ kN} $$ *(注：上游垂直水压力通常作用于上游坝坡面上。题目未给出上游坝坡的具体坡度或是否有悬臂，但给出了梯形断面尺寸。通常梯形重力坝上游面可能是垂直的或有坡度。若上游面垂直，则无上游垂直水重；若上游面倾斜，需计算上游水重。根据题目“梯形断面、顶宽4、底宽23”，且未特别说明上游面形状，通常默认上游面为垂直或近似垂直，或者题目隐含忽略上游垂直水重/将其归入简化计算。但在标准重力坝计算中，如果上游面是倾斜的，会有垂直向下的水重增加抗滑力。然而，观察题目数据，顶宽4m，底宽23m，高30m。如果上游垂直，下游坡度为 $(23-4)/30 = 19/30$。如果上游有坡度，情况会复杂。鉴于这是一道选择题，且通常此类简化题目若未给上游坡度细节，往往假设上游面垂直或不计上游垂直水重，或者该“梯形”是指整个剖面，我们需要判断是否包含上游垂直水重。 让我们先按**不计上游垂直水重**（即假设上游面垂直或忽略其影响，仅考虑坝体自重）试算。如果结果偏差大，再考虑其他因素。实际上，很多简易题目中，“梯形断面”配合“上游水深”，若未提上游坡比，常隐含上游面垂直或主要靠自重。)* **修正思考：** 一般重力坝上游面多为垂直或接近垂直。若上游面垂直，则没有上游垂直水压力。若有上游垂直水压力，需要知道上游面的水平投影长度。题目只给了顶宽和底宽。如果假设上游面垂直，则下游面倾斜，水平投影长为 $23-4=19$m。这种假设下，只有坝体自重。 #### (3) 计算扬压力 ($U$) 题目指出“坝基扬压力简化为三角形”，扬压力系数 $\alpha = 0.4$。 扬压力分布： * 上游端（坝踵）：水头为 $h_1 = 27 \text{ m}$，压强为 $\alpha \gamma_w h_1$？ * 规范中，扬压力通常由浮托力和渗透压力组成。 * 简化三角形分布通常指：上游处扬压力强度为 $\gamma_w h_1$（全水头）或折减后的值？ * 题目说“扬压力系数 $\alpha$ 取 0.4”，且“简化为三角形”。这通常意味着扬压力图形是一个三角形，其最大值在 upstream heel，最小值在 downstream toe。 * 常见的简化模型：上游处扬压力强度 $u_1 = \gamma_w h_1$ (如果有帷幕灌浆等可能折减，但这里直接给了系数 $\alpha$)。 * 另一种常见解释：扬压力总值 $U = \frac{1}{2} \alpha \gamma_w h_1 B$ ? 或者 $U = \frac{1}{2} \gamma_w h_1 (\alpha B)$? * 让我们回顾规范公式。对于三角形分布，若上游水头 $H_1$，下游水头 $H_2=0$。 * 通常扬压力强度在坝踵为 $\gamma_w H_1$，在坝趾为 $\gamma_w H_2$。如果有折减系数 $\alpha$，通常是指渗透压力部分的折减，或者整体折减。 * 题目表述“扬压力简化为三角形...系数 $\alpha$ 取 0.4”。这很可能指的是**扬压力图的面积**相当于一个底为 $B$，高为 $\alpha \gamma_w h_1$ 的三角形？ * 或者是：上游处扬压力为 $\alpha \gamma_w h_1$，下游处为 0？ * 让我们尝试最通用的解释：扬压力 $U = \frac{1}{2} \times B \times (\text{上游扬压力强度})$。 * 如果上游扬压力强度取 $\alpha \gamma_w h_1$（即经过折减后的有效水头产生的压力）： $$ U = \frac{1}{2} \times B \times (\alpha \gamma_w h_1) = \frac{1}{2} \times 23 \times (0.4 \times 10 \times 27) $$ $$ U = 0.5 \times 23 \times 108 = 1242 \text{ kN} $$ * 另一种可能性：扬压力由两部分组成，浮托力（矩形）+ 渗透压力（三角形）。但题目明确说“简化为三角形”，这通常用于简化计算，意指总扬压力分布呈三角形。此时最大纵坐标取值是关键。若 $\alpha$ 是扬压力折减系数，通常作用于渗透压力。但若整体简化为三角形，且给定 $\alpha$，最合理的工程简化是：$U = \frac{1}{2} \alpha \gamma_w h_1 B$ 或者 $U = \frac{1}{2} \gamma_w h_1 (\alpha B)$? 不，量纲不对。 * 让我们参考常见考题模式：$U = \frac{1}{2} \gamma_w h_1 B \times \text{某种系数}$? * 如果按《水工建筑物》常见简化：当设有防渗帷幕和排水时，扬压力图形为梯形或三角形。若简化为三角形，通常指从上游的 $\gamma_w h_1$ 降到下游的 0，但在某处折减？ * 让我们试算一下 $U = \frac{1}{2} \times 23 \times (10 \times 27) = 3105$ (无折减)。 * 若折减系数 $\alpha=0.4$ 应用于整个扬压力值？ $U = 0.4 \times 3105 = 1242 \text{ kN}$。这与上面的计算一致。 * 我们暂定 **$U = 1242 \text{ kN}$**。 ### 2. 计算抗滑稳定安全系数 $K$ 抗滑稳定公式（单一安全系数法，基于摩擦公式）： $$ K = \frac{f \sum W}{\sum P} $$ 其中： * $\sum W$ 为作用在坝基面上的垂直力总和（向下为正）。 $$ \sum W = W_{\text{坝}} - U $$ *(注：若有上游垂直水重应加上，此处暂按无上游垂直水重计)* * $\sum P$ 为作用在坝基面上的水平力总和（推向下游为正）。 代入数值： $$ \sum W = 9517.5 - 1242 = 8275.5 \text{ kN} $$ $$ \sum P = 3645 \text{ kN} $$ 计算 $K$： $$ K = \frac{0.6 \times 8275.5}{3645} $$ $$ K = \frac{4965.3}{3645} \approx 1.362 $$ 这个结果 **1.36** 与选项 **C (1.35)** 非常接近。 ### 3. 验证与其他可能性的排查 为了确保答案的准确性，我们检查一下是否遗漏了“上游垂直水重”。 如果上游面不是垂直的，而是倾斜的，例如上游面也有坡度。 题目只说了“梯形断面”，顶宽4，底宽23。 如果上游面垂直，下游面倾斜，则上游无垂直水重。 如果上游面倾斜，下游面垂直？不太可能，重力坝通常上游近垂直。 如果上下游都有坡度？ 假设上游面水平投影为 $x$，下游面水平投影为 $y$，则 $x+y = 23-4=19$。 如果有上游垂直水重 $W_{water\_up}$，它会增加 $\sum W$，从而增大 $K$。 目前的计算结果 $1.36$ 已经略高于 $1.35$。如果加上上游水重，$K$ 会变得更大（例如 1.4 或更高），这就可能指向选项 A。 但是，通常这类题目如果没有给出上游坡比，默认上游面垂直是标准处理方式。 此外，水的重度如果取 $9.81$： $P_1 = 0.5 \times 9.81 \times 27^2 = 3575.7$ $W = 9517.5$ (不变，因为是混凝土) $U = 0.5 \times 23 \times (0.4 \times 9.81 \times 27) = 1217.1$ $\sum W = 9517.5 - 1217.1 = 8300.4$ $K = \frac{0.6 \times 8300.4}{3575.7} = \frac{4980.24}{3575.7} \approx 1.392$ 结果约 1.39，接近 1.4 (A)。 这就产生了歧义： 1. 若 $\gamma_w = 10$， $K \approx 1.36$ -> 选 C (1.35) 2. 若 $\gamma_w = 9.81$， $K \approx 1.39$ -> 选 A (1.4) 让我们重新审视题目的数字特征。 混凝土重度 $23.5$ 是一个比较精确的值。 水的重度写成了 $1023.5$，这显然是把 $10$ 和 $23.5$ 搞混了或者是排版错误。 在很多国内水利考试教材中，为了计算方便，常取 $\gamma_w = 10 \…(已截断)