77.当观测次数无限增多时,偶然误差的算术平均值趋近于零。()

好的，我们来解析一下这道判断题。 ### 题目： 当观测次数无限增多时，偶然误差的算术平均值趋近于零。（ ） ### 答案： 正确 ### 解析： 1. **偶然误差的定义**： - 偶然误差（也称为随机误差）是指在相同条件下多次测量同一量时，误差的大小和符号没有明显的规律性，但具有统计规律性。例如，测量一个物体的长度时，由于环境因素、仪器精度、操作者等因素的影响，每次测量的结果可能会有微小的差异。 2. **算术平均值**： - 算术平均值是指将所有测量值相加后除以测量次数。假设我们对某个量进行了 \( n \) 次测量，得到的测量值分别为 \( x_1, x_2, \ldots, x_n \)，则算术平均值 \( \bar{x} \) 为： \[ \bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} \] 3. **偶然误差的统计特性**： - 根据概率论和数理统计的理论，偶然误差具有对称性和抵偿性。具体来说，如果测量次数足够多，正负误差会相互抵消，使得总误差趋于零。这意味着，随着测量次数的增加，偶然误差的算术平均值会逐渐趋近于零。 4. **数学解释**： - 设每次测量的误差为 \( e_i \)，则总的误差为 \( e_1 + e_2 + \cdots + e_n \)。根据大数定律，当 \( n \) 趋向于无穷大时，误差的算术平均值 \( \bar{e} \) 趋近于零： \[ \bar{e} = \frac{e_1 + e_2 + \cdots + e_n}{n} \rightarrow 0 \quad \text{当} \quad n \rightarrow \infty \] ### 示例： 假设我们用一把尺子测量一个物体的长度，实际长度是 10 cm。由于偶然误差，我们可能得到以下测量结果： - 第一次测量：10.1 cm - 第二次测量：9.9 cm - 第三次测量：10.2 cm - 第四次测量：9.8 cm 计算这些测量值的算术平均值： \[ \bar{x} = \frac{10.1 + 9.9 + 10.2 + 9.8}{4} = \frac{40.0}{4} = 10.0 \, \text{cm} \] 可以看到，尽管每次测量都有误差，但这些误差相互抵消，最终的算术平均值接近真实值 10 cm。 ### 结论： 因此，当观测次数无限增多时，偶然误差的算术平均值确实会趋近于零。所以，这道题的答案是正确的。