新文化运动的中心和五四运动的策源地是( ).

这道题目考察的是中国近现代史上的两个重要历史事件——新文化运动与五四运动的相关知识。

解析如下：
A. 复旦大学：复旦大学虽然是一所历史悠久的高等学府，但它并不是新文化运动或五四运动的主要活动中心。
B. 北京大学（当时的名称为“京师大学堂”，后改为北京大学）：北京大学在新文化运动中发挥了核心作用，许多重要的思想家如陈独秀、李大钊等人都在此任教，并且《新青年》杂志也迁至北京，在北大出版。同时，它也是1919年五四运动的主要发起地之一，学生从这里出发进行示威游行，抗议巴黎和会上对中国主权的损害。
C. 燕京大学：燕京大学是20世纪初由多所基督教教会学校合并而成的一所私立大学，它并非新文化运动和五四运动的核心地点。
D. 清华大学：清华大学虽然也是一所重要的高等学府，并且其学生也参与了五四运动，但它并不是这两个运动的主要策源地。

综上所述，正确答案是B. 北京大学，因为北京大学不仅是新文化运动的思想摇篮，也是五四爱国运动的重要发源地之一。