新时期爱国统一战线的核心问题是( )

这道题目考察的是对中国爱国统一战线的理解，特别是在新时期的背景下，其核心问题是什么。我们来看一下每个选项的解析：

A. 阶层问题：虽然社会阶层的构成与关系是统一战线工作中需要考虑的因素之一，但在新时期，它并不是最核心的问题。

B. 民族问题：民族团结确实是统一战线工作的重要组成部分，尤其是考虑到中国是一个多民族国家。然而，在新时期背景下，这也不是最核心的问题。

C. 党的领导问题：在新时期，中国共产党领导是中国特色社会主义最本质的特征。因此，在爱国统一战线中，坚持党的领导是确保统一战线方向正确、功能发挥充分的关键所在。这是新时期统一战线工作的核心问题。

D. 宗教问题：宗教事务管理也是统一战线工作的一部分，但同样地，它也不是新时期爱国统一战线的核心问题。

所以正确答案是C，即“党的领导问题”。这是因为在新时期，加强和改善党的领导，对于凝聚各方力量、促进社会发展具有决定性作用。