李某酒后肆意将路边的邮筒和地灯损坏（经估价，价值500元），被巡逻民警当场抓获并口头传唤到公安派出所。下列说法正确的是（）

好的，让我们一起来分析这道题目。
首先，题干描述了一个情境：李某酒后损坏了路边的邮筒和地灯，被巡逻民警抓获并口头传唤到公安派出所。这是一个涉及行政违法行为的问题。
选项A：李某的行为系寻衅滋事行为，应依法予以行政拘留处罚。寻衅滋事通常指的是故意扰乱公共秩序，情节严重的行为。李某酒后损坏公共设施，扰乱了公共秩序，因此这个选项是正确的。
选项B：公安派出所民警必须向李某出具书面传唤证。根据《中华人民共和国治安管理处罚法》的规定，对于需要传唤的违法行为人，民警可以口头传唤，但必须在询问笔录中注明。因此，这个选项是不正确的。
选项C：对李某的行为，公安派出所可以调解处理。调解通常适用于轻微的违法行为，而李某的行为已经涉及到了损坏公共设施，属于较为严重的违法行为，不适合调解处理。所以这个选项也是不正确的。
选项D：公安派出所民警在处罚李某前应告知李某家属。根据法律规定，民警在处罚前应当告知违法行为人，但并不一定需要告知家属。因此，这个选项也是不正确的。
现在，让我们通过一个生动的例子来加深理解。假设小明在公园里乱扔垃圾，被巡逻的城管人员抓住。城管人员可以口头传唤小明到城管办公室，并记录下小明的违法事实。如果小明的行为属于轻微的违法行为，城管可以对其进行教育并警告。但如果小明故意破坏公园的公共设施，那么他的行为就属于寻衅滋事，城管就可以依法对其进行行政拘留处罚。