130、N位二进制能表示的最大整数是____。

这道题考查的是二进制数的表示范围。 **解析过程：** 1. **理解二进制位权**： 在二进制系统中，每一位只有 0 或 1 两种状态。对于一个 $N$ 位的二进制数，从最低位（第0位）到最高位（第 $N-1$ 位），其位权分别是 $2^0, 2^1, 2^2, \dots, 2^{N-1}$。 2. **确定最大值的构成**： 要使一个 $N$ 位二进制数表示的整数值最大，每一位都必须取最大值，即每一位都是 1。 因此，$N$ 位二进制能表示的最大数形式为：$\underbrace{11\dots1}_{N个1}$。 3. **计算数值**： 这个数的十进制值为所有位权之和： $$ Sum = 2^{N-1} + 2^{N-2} + \dots + 2^1 + 2^0 $$ 这是一个首项为 $1$ ($2^0$)，公比为 $2$，项数为 $N$ 的等比数列求和。 根据等比数列求和公式 $S_n = \frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$： $$ S_N = \frac{1 \times (1 - 2^N)}{1 - 2} = \frac{1 - 2^N}{-1} = 2^N - 1 $$ 4. **举例验证**： * 当 $N=1$ 时，最大二进制数是 $1$，对应十进制 $2^1 - 1 = 1$。 * 当 $N=2$ 时，最大二进制数是 $11$，对应十进制 $2+1=3$，即 $2^2 - 1 = 3$。 * 当 $N=3$ 时，最大二进制数是 $111$，对应十进制 $4+2+1=7$，即 $2^3 - 1 = 7$。 * 当 $N=8$ 时，最大二进制数是 $11111111$，对应十进制 $255$，即 $2^8 - 1 = 255$。 5. **选项分析**： * A. $2^N$：这是 $N$ 位二进制数能表示的不同状态的总数（从 $0$ 到 $2^N-1$），或者是 $N+1$ 位二进制数的最小值（$100\dots0$），不是最大值。 * B. $2^N - 1$：正确，如上推导。 * C. $10^N$：这是十进制的概念，与二进制无关。 * D. $10^N - 1$：这是 $N$ 位十进制数能表示的最大整数（如999...9），与二进制无关。 **结论：** $N$ 位二进制能表示的最大整数是 $2^N - 1$。 故正确答案为 **B**。