()椭圆参数方程式为X=a*Cosθ;Y=b*Sinθ(FANUC系统、华中系统).()

好的，我们来分析一下这道判断题。 ### 题目： 椭圆参数方程为 \( X = a \cdot \cos(\theta) \); \( Y = b \cdot \sin(\theta) \) (FANUC系统、华中系统)。 ### 答案： 正确 ### 解析： #### 椭圆的标准方程 椭圆的标准方程是： \[ \frac{X^2}{a^2} + \frac{Y^2}{b^2} = 1 \] 其中，\( a \) 和 \( b \) 分别是椭圆的半长轴和半短轴。 #### 参数方程 椭圆的参数方程可以表示为： \[ X = a \cdot \cos(\theta) \] \[ Y = b \cdot \sin(\theta) \] 其中，\( \theta \) 是参数，通常取值范围为 \( 0 \leq \theta < 2\pi \)。 #### 为什么正确？ 1. **数学推导**： - 将参数方程代入标准方程验证： \[ \frac{(a \cdot \cos(\theta))^2}{a^2} + \frac{(b \cdot \sin(\theta))^2}{b^2} = \cos^2(\theta) + \sin^2(\theta) = 1 \] - 这个等式成立，说明参数方程确实描述了椭圆。 2. **实际应用**： - 在数控编程中，FANUC系统和华中系统都支持使用参数方程来描述曲线。椭圆的参数方程在这些系统中是非常常见的，用于生成椭圆轨迹。 ### 示例 假设我们要在数控机床上加工一个椭圆，其半长轴 \( a = 5 \) mm，半短轴 \( b = 3 \) mm。我们可以使用参数方程来生成椭圆的路径： - 当 \( \theta = 0 \) 时： \[ X = 5 \cdot \cos(0) = 5 \] \[ Y = 3 \cdot \sin(0) = 0 \] 点坐标为 (5, 0) - 当 \( \theta = \frac{\pi}{2} \) 时： \[ X = 5 \cdot \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 \] \[ Y = 3 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 3 \] 点坐标为 (0, 3) - 当 \( \theta = \pi \) 时： \[ X = 5 \cdot \cos(\pi) = -5 \] \[ Y = 3 \cdot \sin(\pi) = 0 \] 点坐标为 (-5, 0) - 当 \( \theta = \frac{3\pi}{2} \) 时： \[ X = 5 \cdot \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0 \] \[ Y = 3 \cdot \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -3 \] 点坐标为 (0, -3) 通过这些点，我们可以生成椭圆的完整路径。 ### 结论 题目中的椭圆参数方程 \( X = a \cdot \cos(\theta) \); \( Y = b \cdot \sin(\theta) \) 是正确的，适用于FANUC系统和华中系统。