在机械成孔灌注桩施工中，钻进过程中出现塌孔现象，若塌孔的部位不深时，可改用深埋护筒，压实护筒周围的回填土，重新钻孔

选项A：桩周浅开挖。这个选项不够具体，且如果只是浅开挖，可能无法有效解决塌孔问题，因为并没有提到如何处理开挖后的土体或如何防止再次塌孔。

选项B：无需任何措施，继续钻进。这个选项明显不正确，因为塌孔现象如果不处理，继续钻进可能会导致更大的施工问题，甚至可能造成安全事故。

选项C：改用深埋护筒，压实护筒周围的回填土。这个选项是正确的。当出现塌孔现象时，使用深埋护筒可以提供更强的支撑，压实周围的回填土可以增加地层的稳定性，从而防止再次发生塌孔，保证钻孔的顺利进行。

选项D：重新回填，重新钻进。这个选项虽然提到了重新回填，但没有说明如何回填以及如何防止再次塌孔，单纯重新钻进可能会遇到同样的问题。

因此，正确答案是C。这个答案提供了一种有效的处理塌孔的方法，即通过深埋护筒和压实回填土来稳定孔壁，从而安全继续施工。