1789、当流量、管长和管子的摩擦系数等不变时,管路阻力近似地与管径的( )次方成反比。

这是一道关于流体力学中管路阻力计算的题目。我们需要通过达西-魏斯巴赫公式（Darcy-Weisbach equation）结合连续性方程来推导管路阻力与管径的关系。 ### 1. 核心公式回顾 管路沿程阻力损失（压头损失 $h_f$ 或压力降 $\Delta P$）通常使用**达西-魏斯巴赫公式**表示： $$ h_f = \lambda \frac{L}{d} \frac{v^2}{2g} $$ 或者用压力降表示： $$ \Delta P = \lambda \frac{L}{d} \frac{\rho v^2}{2} $$ 其中： * $h_f$ ：沿程水头损失 * $\Delta P$ ：压力降（阻力） * $\lambda$ ：摩擦系数（题目已知不变） * $L$ ：管长（题目已知不变） * $d$ ：管径 * $v$ ：流体流速 * $\rho$ ：流体密度 * $g$ ：重力加速度 ### 2. 引入流量约束 题目中指出**流量 $Q$ 不变**。根据连续性方程，流量 $Q$ 与流速 $v$ 和管径 $d$ 的关系为： $$ Q = A \cdot v = \frac{\pi d^2}{4} \cdot v $$ 由此可以解出流速 $v$ 与管径 $d$ 的关系： $$ v = \frac{4Q}{\pi d^2} $$ 即：**流速 $v$ 与管径 $d$ 的平方成反比** ($v \propto d^{-2}$)。 ### 3. 推导阻力与管径的关系 将流速 $v$ 的表达式代入达西-魏斯巴赫公式中，以消除变量 $v$，只保留 $d$ 和其他常数。 我们以压力降 $\Delta P$ 为例进行推导（$h_f$ 同理）： $$ \Delta P = \lambda \frac{L}{d} \frac{\rho}{2} \left( \frac{4Q}{\pi d^2} \right)^2 $$ 展开平方项： $$ \Delta P = \lambda \frac{L}{d} \frac{\rho}{2} \cdot \frac{16 Q^2}{\pi^2 d^4} $$ 整理常数项和变量项： $$ \Delta P = \left( \frac{8 \lambda L \rho Q^2}{\pi^2} \right) \cdot \frac{1}{d \cdot d^4} $$ $$ \Delta P = \left( \frac{8 \lambda L \rho Q^2}{\pi^2} \right) \cdot \frac{1}{d^5} $$ ### 4. 结论分析 在题目给定的条件下： * 流量 $Q$ 不变 * 管长 $L$ 不变 * 摩擦系数 $\lambda$ 不变 * 流体密度 $\rho$ 不变 因此，括号内的部分 $\left( \frac{8 \lambda L \rho Q^2}{\pi^2} \right)$ 均为常数。 所以，管路阻力 $\Delta P$ 与管径 $d$ 的关系为： $$ \Delta P \propto \frac{1}{d^5} $$ 即：**管路阻力近似地与管径的 5 次方成反比。** ### 5. 选项对比 * A. 2 * B. 3 * C. 4 * D. 5 根据上述推导，正确答案为 **D**。 --- **总结记忆点：** 在流量恒定的情况下，管径减小会导致流速急剧增加（平方关系），而阻力与流速的平方成正比，再加上管径本身在分母上的一次方影响，最终导致阻力与管径的5次方成反比。这是一个在工程流体力学中非常重要的结论，常用于分析管道尺寸变化对泵送功率的影响。