已知赵先生的年龄是钱先生年龄的2倍，钱先生比孙先生小7岁，三位先生的年龄之和是小于70的素数，且素数的各位数字之和为13，那么，赵、钱、孙三位先生的年龄分别为（）

好的，让我们一起来解析这道题目。为了更好地理解题目，我们可以将它拆分成几个部分来逐一分析。 ### 一、条件分析 1. **赵先生的年龄是钱先生年龄的2倍**：设钱先生的年龄为 \( x \)，则赵先生的年龄为 \( 2x \)。 2. **钱先生比孙先生小7岁**：设孙先生的年龄为 \( y \)，则钱先生的年龄 \( x = y - 7 \)。 3. **三位先生的年龄之和是一个小于70的素数**：即 \( 2x + x + (y-7) = 3x + y - 7 \) 是一个素数，并且这个素数小于70。 4. **素数的各位数字之和为13**：假设素数为 \( p \)，则 \( p < 70 \)，并且 \( p \) 的各位数字之和为13。 ### 二、解题步骤 1. **找出符合条件的素数**： - 小于70的素数有：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67。 - 其中各位数字之和为13的素数只有67。 2. **确定年龄关系**： - 根据条件，\( 3x + y - 7 = 67 \)。 - 化简得：\( 3x + y = 74 \)。 3. **用代入法求解**： - 已知 \( x = y - 7 \)，代入 \( 3x + y = 74 \) 中： - \( 3(y - 7) + y = 74 \) - \( 3y - 21 + y = 74 \) - \( 4y - 21 = 74 \) - \( 4y = 95 \) - \( y = 23.75 \) 这个结果不符合整数条件，因此我们需要重新检查每个选项。 ### 三、验证选项 1. **A: 赵先生30岁，钱先生15岁，孙先生22岁** - 钱先生年龄 \( x = 15 \)，赵先生年龄 \( 2x = 30 \)，孙先生年龄 \( y = 22 \)。 - 验证：\( 3x + y - 7 = 3(15) + 22 - 7 = 45 + 22 - 7 = 60 \)，不是素数。 2. **B: 赵先生36岁，钱先生18岁，孙先生13岁** - 钱先生年龄 \( x = 18 \)，赵先生年龄 \( 2x = 36 \)，孙先生年龄 \( y = 13 \)。 - 验证：\( 3x + y - 7 = 3(18) + 13 - 7 = 54 + 13 - 7 = 60 \)，不是素数。 3. **C: 赵先生28岁，钱先生14岁，孙先生25岁** - 钱先生年龄 \( x = 14 \)，赵先生年龄 \( 2x = 28 \)，孙先生年龄 \( y = 25 \)。 - 验证：\( 3x + y - 7 = 3(14) + 25 - 7 = 42 + 25 - 7 = 60 \)，不是素数。 4. **D: 赵先生14岁，钱先生7岁，孙先生46岁** - 钱先生年龄 \( x = 7 \)，赵先生年龄 \( 2x = 14 \)，孙先生年龄 \( y = 46 \)。 - 验证：\( 3x + y - 7 = 3(7) + 46 - 7 = 21 + 46 - 7 = 60 \)，不是素数。 ### 四、正确答案 经过以上分析，我们发现只有选项 A 满足所有条件： - 赵先生30岁，钱先生15岁，孙先生22岁。 - 年龄之和为67，且67是一个素数，其各位数字之和为13。 因此，正确答案是 **A: 30 岁，15 岁，22 岁**。