当两个外切于同一球面的回转体相交时，其相贯线为两个椭圆。

这是一道关于**画法几何**或**工程制图**中相贯线性质的经典判断题。以下是对该命题的详细解析： ### 核心结论 **答案：正确** ### 详细解析 #### 1. 几何背景：蒙日定理（Monge's Theorem） 这个命题基于几何学中的一个著名定理，通常被称为**蒙日定理**在二次曲面相交中的应用。定理指出： > 如果两个二次曲面（如圆柱、圆锥等回转体）同时外切于第三个二次曲面（通常是球面），那么这两个二次曲面的交线（相贯线）将退化为两条平面曲线。 对于回转体而言，这两条平面曲线具体表现为**两个椭圆**。 #### 2. 直观理解与推导 我们可以通过以下步骤来理解为什么相贯线是两个椭圆： * **公共切球的作用**： 当两个回转体（例如两个直径不同的圆柱，或一个圆柱和一个圆锥）外切于同一个球面时，球面与每个回转体的接触点分别形成一个圆（称为切圆）。 * **对称性分析**： 由于回转体和球面都具有旋转对称性，且它们外切，这两个切圆所在的平面是确定的。 * **交线的性质**： 根据二次曲面相交的理论，两个二次曲面的一般交线是一条空间四次曲线。但是，当它们拥有公共的内切球时，这条空间四次曲线会“退化”分解为两条二次曲线。 * **为何是椭圆**： 在正投影体系中，如果两个轴线相交的回转体外切于同一球面，其相贯线在空间中确实是两个椭圆。 * **特例验证**：最经典的例子是**两个直径相等的圆柱正交**（即轴线垂直相交）。此时，它们显然外切于同一个球面（球心在轴线交点，半径为圆柱半径的一半乘以$\sqrt{2}$... 或者更简单地说，球内切于两个圆柱形成的角部）。在这种情况下，相贯线是两个相同的椭圆，且在主视图和左视图中投影为相交的直线（这是因为椭圆所在平面与投影面垂直，发生了积聚性投影）。 * **一般情况**：如果两个回转体轴线夹角不是90度，或者直径不等但满足外切于同一球面的条件，相贯线依然是两个椭圆，只是它们在投影面上的表现不再是简单的直线，而是椭圆或其一部分。 #### 3. 工程制图中的意义 在机械制图中，这一性质非常重要，因为它简化了相贯线的画法： * 如果不满足外切于同一球面的条件，相贯线通常是复杂的空间曲线，需要通过取点法逐点绘制。 * 如果满足该条件，工程师可以直接判断相贯线为平面曲线（椭圆），从而利用椭圆的几何性质或通过辅助平面法更简便地求出投影。 ### 总结 当两个回转体外切于同一球面时，它们的相贯线由空间四次曲线退化为两条平面二次曲线。对于常见的回转体（圆柱、圆锥），这两条曲线即为**椭圆**。因此，题目中的陈述是**正确**的。